Question

甲、乙、丙三名射擊運動員射中目標的概率分別為、a、a(0＜a＜1)，三人各射擊一次，擊中目標的次數(shù)記為ξ.

(1)求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望；

(2)在概率P(ξ＝i)(i＝0、1、2、3)中，若P(ξ＝1)的值最大，求實數(shù)a的取值范圍．

 

Answer 1

（1），ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	(1－a)2	(1－a2)	(2a－a2)

（2）

【解析】(1)P(ξ)是“ξ個人命中，3－ξ個人未命中”的概率．其中ξ的可能取值為0、1、2、3.

P(ξ＝0)＝(1－a)2＝(1－a)2；

P(ξ＝1)＝·(1－a)2＋a(1－a)＝(1－a2)；

P(ξ＝2)＝·a(1－a)＋a2＝(2a－a2)；

P(ξ＝3)＝·a2＝.

所以ξ的分布列為

 

ξ	0	1	2	3
P	(1－a)2	(1－a2)	(2a－a2)

ξ的數(shù)學(xué)期望為

E(ξ)＝0×(1－a)2＋1×(1－a2)＋2×(2a－a2)＋3×＝.

(2)P(ξ＝1)－P(ξ＝0)＝[(1－a2)－(1－a)2]＝a(1－a)；

P(ξ＝1)－P(ξ＝2)＝[(1－a2)－(2a－a2)]＝；

P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝[(1－a2)－a2]＝.

由和0＜a＜1，得0＜a≤，即a的取值范圍是.