已知函數(shù)f(x)=x3+(a-1)x2+3x+b的圖象與x軸有三個不同交點,且交點的橫坐標分別可作為拋物線、雙曲線、橢圓的離心率,則實數(shù)a的取值范圍是________.

(-3,-2)
分析:先把函數(shù)f(x)=x3+(a-1)x2+3x+b的圖象與x軸有三個不同交點轉(zhuǎn)化為方程x3+(a-1)x2+3x+b=0有三個不等實根.再根據(jù)1是方程的根代入求出b和a之間的關(guān)系式;代入原方程分解因式,最后轉(zhuǎn)化為x2+a(x+1)+3=0有兩個根,且一個根在(0,1)上,另一根在(1,+∞)上,再借助于圖象求出實數(shù)a的取值范圍即可.
解答:解:函數(shù)f(x)=x3+(a-1)x2+3x+b的圖象與x軸有三個不同交點,即是方程x3+(a-1)x2+3x+b=0有三個不等實根.
由題得1是方程的根,故有1+(a-1)+3+b=0?b=-a-3?x3+(a-1)x2+3x+b=x3+(a-1)x2+3x-a-3=(x-1)[x2+a(x+1)+3]=0.
因為交點的橫坐標分別可作為拋物線、雙曲線、橢圓的離心率
故方程g(x)=x2+a(x+1)+3=0有兩個根,且一個根在(0,1)上,另一根在(1,+∞)上,
由圖得,
有g(shù)(0)>0且g(1)<0?a>-3且a<-2,
故滿足要求的實數(shù)a的取值范圍是(-3,-2).
故答案為:(-3,-2).
點評:本題主要考查根的個數(shù)問題以及一元二次根的分布問題.在解決一元二次方程根的分布問題時,常常是把其對應(yīng)函數(shù)的圖象找出來,借助于圖象來解.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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