已知函數(shù)f(x)=x3+(a-1)x2+3x+b的圖象與x軸有三個不同交點,且交點的橫坐標分別可作為拋物線、雙曲線、橢圓的離心率,則實數(shù)a的取值范圍是________.
(-3,-2)
分析:先把函數(shù)f(x)=x
3+(a-1)x
2+3x+b的圖象與x軸有三個不同交點轉(zhuǎn)化為方程x
3+(a-1)x
2+3x+b=0有三個不等實根.再根據(jù)1是方程的根代入求出b和a之間的關(guān)系式;代入原方程分解因式,最后轉(zhuǎn)化為x
2+a(x+1)+3=0有兩個根,且一個根在(0,1)上,另一根在(1,+∞)上,再借助于圖象求出實數(shù)a的取值范圍即可.
解答:
解:函數(shù)f(x)=x
3+(a-1)x
2+3x+b的圖象與x軸有三個不同交點,即是方程x
3+(a-1)x
2+3x+b=0有三個不等實根.
由題得1是方程的根,故有1+(a-1)+3+b=0?b=-a-3?x
3+(a-1)x
2+3x+b=x
3+(a-1)x
2+3x-a-3=(x-1)[x
2+a(x+1)+3]=0.
因為交點的橫坐標分別可作為拋物線、雙曲線、橢圓的離心率
故方程g(x)=x
2+a(x+1)+3=0有兩個根,且一個根在(0,1)上,另一根在(1,+∞)上,
由圖得,
有g(shù)(0)>0且g(1)<0?a>-3且a<-2,
故滿足要求的實數(shù)a的取值范圍是(-3,-2).
故答案為:(-3,-2).
點評:本題主要考查根的個數(shù)問題以及一元二次根的分布問題.在解決一元二次方程根的分布問題時,常常是把其對應(yīng)函數(shù)的圖象找出來,借助于圖象來解.