Question

已知f(x)=sin2x+2

2

asin(x+

π

4

)在x∈[0，

11

12

π]上有最小值-

5

2

，求f（x）的最大值．

Answer 1

分析：利用換元法令t=sinx+cosx，則-

2

2

≤t≤

2

，化簡(jiǎn)函數(shù)為二次函數(shù)，通過(guò)對(duì)對(duì)稱軸的討論，結(jié)合函數(shù)的最小值，求出函數(shù)的最大值即可．

解答：解：f（x）=2sinxcosx+2a（sinx+cosx），令t=sinx+cosx，則-

2

2

≤t≤

2

2sinxcosx=t²-1f（x）=g（t）=t²+2at-1
1）．對(duì)稱軸t=-a≤-

2

2

時(shí)，f(x)min=g(-

2

2

)=-

5

2

a=

2

，f(x)max=g(

2

)=5
2）.-

2

2

＜-a＜

2

時(shí)，f(x)min=g(-a)=a2-2a2-1=-

5

2

∴a=±

6

2

(正根舍去)比較g(

2

)與g(-

2

2

)大小可知，
f(x)max=g(-

2

2

)=

3

-

1

2

3）.-a≥

2

時(shí)，f(x)min=g(

2

)得a=-

7 2

8

＞-

2

無(wú)解
綜上所知，當(dāng)a=

2

時(shí)，fmax(x)=5，當(dāng)a=-

6

2

時(shí)，fmax(x)=

3

-

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查換元法的思想的應(yīng)用，二次函數(shù)的指正的求法，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，分類討論思想的應(yīng)用．