Question

如圖，正方形ABCD與直角梯形ACEF所在的平面垂直于梯形下底AC，AB=2，梯形上底EF與直角腰EC相等且為．
（Ⅰ）求證：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求證：CF⊥平面BDE；
（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）證明AF∥平面BDE，利用線面平行的判定定理，設(shè)AC與BD交與點G，證明AF∥GE即可；
（Ⅱ）建立空間直角坐標系，用坐標表示點、向量，利用向量的數(shù)量積即可證得CF⊥平面BDE．
（Ⅲ）是平面BDE的一個法向量，求出平面ABE的法向量，利用向量的夾角公式，即可求得二面角A-BE-D的大小．
解答：（Ⅰ）證明：設(shè)AC與BD交與點G．
因為EF∥AG，且．
所以四邊形AGEF為平行四邊形，所以AF∥GE，
因為GE?平面BDE，AF?平面BDE，所以AF∥平面BDE．
（Ⅱ）證明：因為正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面相互垂直，且CE⊥AC，
所以CE⊥平面ABCD．
如圖，以C為原點，建立空間直角坐標系C-xyz．
則C（0，0，0），A（2，2，0），B（0，2，0）．
所以，
所以，
所以CF⊥BE，CF⊥DE．
因為BE∩DE=E，所以CF⊥平面BDE．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，是平面BDE的一個法向量．
設(shè)平面ABE的法向量，則，．
即，
所以x=0，且，
令y=1，則．所以．從而．
因為二面角A-BE-D為銳角，所以二面角A-BE-D的大小為．
點評：本題考查線面平行、線面垂直，考查面面角，考查用向量方法解決立體幾何問題，傳統(tǒng)方法與向量方法相結(jié)合，屬于中檔題．