精英家教網(wǎng)在如圖所示的幾何體中,△ABC為正三角形,AE和CD都垂直于平面ABC,且AE=AB=2,CD=1,F(xiàn)為BE的中點(diǎn).
(I)求證:平面DBE⊥平面ABE;
(II)求直線BD和平面ACDE所成角的余弦值.
分析:(Ⅰ)取AB中點(diǎn)G,由題意可知四邊形CDFG為平行四邊形,可得CG∥DF.根據(jù)題意可得:平面ABE⊥平面ABC,可得CG⊥平面ABE,進(jìn)而得到DF⊥平面ABE,即可證明面面垂直.
(II)取AC中點(diǎn)M,連接BM、DM,所以BM⊥AC,又平面ACDE⊥平面ABC,所以BM⊥平面ACDE,所以∠BDM為所求的線面角,再結(jié)合解三角形的有關(guān)知識求出線面角即可得到答案.
解答:精英家教網(wǎng)解:(I)證明:取AB中點(diǎn)G,則四邊形CDFG為平行四邊形,
∴CG∥DF又AE⊥平面ABC,AE?平面ABE
∴平面ABE⊥平面ABC,交線為AB.
又△ABC為正三角形,G為AB中點(diǎn)
∴CG⊥AB,
∴CG⊥平面ABE,又CG∥DF,
∴DF⊥平面ABE,
又DF?平面DBE
∴平面DBE⊥平面ABE.
(II)解:取AC中點(diǎn)M,連接BM、DM,
∵△ABC為正三角形,M為AC中點(diǎn),
∴BM⊥AC.
又AE⊥平面ABC,AE?平面ACDE
∴平面ACDE⊥平面ABC,
∴BM⊥平面ACDE.
∴∠BDM為所求的線面角.
又因?yàn)椤鰽BC為正三角形且AB=2,
所以BM=
3
,BC?平面ABC,
所以CD⊥BC,
所以BD=
5
,
所以cos∠BDM=
10
5
故直線BD和平面ACDE所成角的余弦值為
10
5
點(diǎn)評:本題考查直線與平面面垂直的判定定理,并且也考查求直線與平面所成的角的有關(guān)知識,找出直線與平面所成的角是解題的難點(diǎn)和關(guān)鍵,屬于難題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD、ADEF、ABGF均為全等的直角梯形,且BC∥AD,AB=AD=2BC.
(Ⅰ)求證:CE∥平面ABGF;
(Ⅱ)求二面角G-CE-D的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在如圖所示的幾何體中,平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)都在以AC為直徑的圓O上,AD=CD=DP=a,AP=CP=
2
a,DP∥AM,且AM=
1
2
DP,E,F(xiàn)分別為BP,CP的中點(diǎn).
(I)證明:EF∥平面ADP;
(II)求三棱錐M-ABP的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•朝陽區(qū)一模)在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD為平行四邊形,∠ABD=90°,EB⊥平面ABCD,EF∥AB,AB=2,EF=1,BC=
13
,且M是BD的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:EM∥平面ADF;
(Ⅱ)在EB上是否存在一點(diǎn)P,使得∠CPD最大?若存在,請求出∠CPD的正切值;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在如圖所示的幾何體中,面CDEF為正方形,面ABCD為等腰梯形,AB∥CD,AB=2BC,∠ABC=60°,AC⊥FB.
(Ⅰ)求證:AC⊥平面FBC;
(Ⅱ)線段ED上是否存在點(diǎn)Q,使平面EAC⊥平面QBC?證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)在如圖所示的幾何體中,EA⊥平面ABC,DB⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=BD=2AE=2,M是AB的中點(diǎn). 
(1)求證:CM⊥平面ABDE;
(2)求幾何體的體積.

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