Question

已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上的周期函數(shù)，周期T=5，又函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上是奇函數(shù)，又知y=f（x） 在區(qū)間[0，1]上的圖象是線段、在區(qū)間[1，4]上的圖象是一個二次函數(shù)圖象的一部分，且在x=2時，函數(shù)取得最小值-5．求：
（1）f（1）+f（4）的值；
（2）y=f（x）在x∈[1，4]上的函數(shù)解析式；
（3）y=f（x）在x∈[4，9]上的函數(shù)解析式．

Answer 1

解：（1）函數(shù)y=f（x）是定義在R上的周期函數(shù)，T=5，所以f（4）=f（-1），…（2分）
而函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上是奇函數(shù)，所以f（-1）=-f（1），…（3分）
所以f（1）+f（4）=0；…（4分）
（2）當(dāng)x∈[1，4]時，令f（x）=a（x-2）²-5，…（5分）
由f（1）+f（4）=0得a=2，…（7分）
所以f（x）=2x²-8x+3（1≤x≤4），…（8分）
（3）函數(shù)y=f（x）（-1≤x≤1）是奇函數(shù)，又知y=f（x）在[0，1]上是一次函數(shù)，
令y=kx，（k≠0，-1≤x≤1），…（9分）
由（2）得：f（1）=-3，可知k=-3，…（10分）
由0≤x≤1時，y=-3x，可推知y=-3x，-1≤x≤1，…（11分）
當(dāng)4≤x≤6時，-1≤x-5≤1，所以f（x）=f（x-5）=-3x+15；…（13分）
當(dāng)6＜x≤9時，1＜x-5≤4，所以f（x）=f（x-5）=2（x-7）²-5．…（15分）
所以f（x）=．…（16分）
分析：（1）函數(shù)y=f（x）是定義在R上的周期函數(shù)，T=5，所以f（4）=f（-1），而函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上是奇函數(shù)，所以f（-1）=-f（1），由此能求出f（1）+f（4）的值．
（2）當(dāng)x∈[1，4]時，令f（x）=a（x-2）²-5，由f（1）+f（4）=0得a=2，由此能求出f（x）．
（3）函數(shù)y=f（x）（-1≤x≤1）是奇函數(shù)，y=f（x）在[0，1]上是一次函數(shù)，令y=kx．由f（1）=-3，可知k=-3，由此分類討論能夠求出f（x）．
點評：本題考查函數(shù)值和函數(shù)解析式的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．