Question

13．函數(shù)f（x）=-x³+1在R上是否具有單調(diào)性？如果具有單調(diào)性，它在R上是增函數(shù)還是減函數(shù)？試證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 先判斷函數(shù)f（x）是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，再運(yùn)用定義進(jìn)行證明，作差得f（x₁）-f（x₂）=（x₂-x₁）[（x₂+$\frac{1}{2}$x₁）²+$\frac{3}{4}$x₁²）]，即可下結(jié)論．

解答 解：函數(shù)f（x）=-x³+1在R上為單調(diào)遞減函數(shù)，證明如下：
任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（-x₁³+1）-（-x₂³+1）
=x₂³-x₁³
=（x₂-x₁）（x₂²+x₁x₂+x₁²）
=（x₂-x₁）[（x₂+$\frac{1}{2}$x₁）²+$\frac{3}{4}$x₁²）]，
其中，x₂-x₁＞0，（x₂+$\frac{1}{2}$x₁）²+$\frac{3}{4}$x₁²＞0恒成立，
所以，f（x₁）＞f（x₂）恒成立，
故f（x）為R上的單調(diào)遞減函數(shù)，證畢．

點(diǎn)評 本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明，通過對差式進(jìn)行合理的恒等變形是解題的關(guān)鍵，涉及到作差法和配方法，屬于中檔題．