(本題滿分10分)
如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=BC=2,E為PA的中點,過E作平行于底面的平面EFGH,分別與另外三條側棱相交于點F、G、H. 已知底面ABCD為直角梯形,AD∥BC,AB⊥AD,∠BCD=135°.
(1)求異面直線AF與BG所成的角的大;
(2)求平面APB與平面CPD所成的銳二面角的余弦值
(1) AF與BG所成角為; (2)平面APB與平面CPD所成的銳二面角的余弦值為.
【解析】本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角,異面直線及其所成的角,其中建立空間坐標系,將空間線線夾角及二面角問題轉化為空間向量夾角問題,是解答本題的關鍵.
由題意可知,AP、AD、AB兩兩垂直,可建立空間直角坐標系A-xyz,求出圖中各點坐標
(1)求出異面直線AF,BG的方向向量,根據兩個向量的數量積為0,兩個向量垂直,易得異面直線AF,BG所成的角的大小為
(2)求出平面APB的法向量為 n和設平面CPD的法向量為m, ,代入向量夾角公式 ,可得面APB與面CPD所成的銳二面角的大小
解 由題意可知:AP、AD、AB兩兩垂直,可建立空間直角坐標系A-xyz
由平面幾何知識知:AD=4, D (0, 4, 0), B (2 , 0 , 0 ),
C ( 2, 2, 0 ), P (0, 0, 2), E (0, 0, 1), F (1 ,0, 1), G (1 ,1 ,1)
(1) =(1,0,1), =(-1,1,1)
∴·=0,
∴AF與BG所成角為 .
(2) 可證明AD⊥平面APB,
∴平面APB的法向量為n=(0,1,0)
設平面CPD的法向量為m=(1,y,z)
由 Þ
故m=(1,1,2)
∵cos<m,n>=
∴平面APB與平面CPD所成的銳二面角的余弦值為.
科目:高中數學 來源: 題型:
17.本題滿分10分已知函數的圖象在y軸上的截距為,相鄰的兩個最值點是和(1)求函數;(2)設,問將函數的圖像經過怎樣的變換可以得到 的圖像?(3)畫出函數在區(qū)間上的簡圖.
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科目:高中數學 來源:2014屆浙江省高二下學期期中考試理科數學試卷(解析版) 題型:解答題
(本題滿分10分)
(Ⅰ)設,求證:;
(Ⅱ)設,求證:三數,,中至少有一個不小于2.
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科目:高中數學 來源:2014屆河南省高二上學期期末考試理科數學試卷(解析版) 題型:解答題
(本題滿分10分)
如圖,已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,底面邊長AB=2,側棱BB1的長為4,過點B作B1C的垂線交側棱CC1于點E,交B1C于點F,
⑴求證:A1C⊥平面BDE;
⑵求A1B與平面BDE所成角的正弦值。
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科目:高中數學 來源:2011-2012學年江蘇省揚州市寶應縣高三下學期期初測試數學試卷 題型:解答題
(本題滿分10分)
如圖,已知正三棱柱的所有棱長都為2,為棱的中點,
(1)求證:平面;
(2)求二面角的余弦值大小.
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科目:高中數學 來源:2010-2011年遼寧省高二上學期期末考試數學理卷 題型:解答題
(本題滿分10分)
如圖,要計算西湖岸邊兩景點與的距離,由于地形的限制,需要在岸上選取和兩點,現測得,,, ,,求兩景點與的距離(精確到0.1km).參考數據:
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