Question

已知：A₁、B₁、C₁和A₂、B₂、C₂分別是兩條異面直線l₁和l₂上的任意三點，M、N、R、T分別是A₁A₂、B₁A₂、B₁B₂、C₁C₂的中點．求證：M、N、R、T四點共面．

Answer 1

答案：
解析：

　　證明：如圖，連結(jié)MN、NR，則MN∥l₁，NR∥l₂，且M、N、R不在同一直線上(否則，根據(jù)三線平行公理，知l₁∥l₂與條件矛盾)．∴MN、NR可確定平面β，連結(jié)B₁C₂，取其中點S．連RS、ST，則RS∥l₂，又RN∥l₂，∴N、R、S三點共線．即有S∈β，又ST∥l₁，MN∥l₁，∴MN∥ST，又S∈β，∴STβ．

　　∴M、N、R、T四點共面．GO＝2∶1

　　又是正三角形的BD邊上的高和中線，∴點G是正三角形的中心．故，即．

　　證明二：由(I)知，，，

　　當(dāng)時，平行六面體的六個面是全等的菱形．同的證法可得，又，所以．