Question

已知△ABC的頂點A（0，1），AB邊上的中線CD所在的直線方程為2x-2y-1=0，AC邊上的高BH所在直線的方程為y=0．
（1）求△ABC的頂點B、C的坐標；
（2）若圓M經(jīng)過不同的三點A、B、P（m，0），且斜率為1的直線與圓M相切于點P，求圓M的方程；
（3）問圓M是否存在斜率為1的直線l，使l被圓M截得的弦為DE，以DE為直徑的圓經(jīng)過原點．若存在，寫出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵AC邊上的高BH所在直線的方程為y=0，即為x軸，
∴直線AC的方程為y軸，即為直線x=0，又直線CD：2x-2y-1=0，
聯(lián)立得：解得：∴C（0，-），
設B（b，0），又A（0，1），
∴AB的中點D（，），
把D坐標代入方程2x-2y-1=0得：b-1-1=0，解得：b=2，
∴B（2，0）；（4分）
（2）由A（0，1），B（2，0）可得：
線段AB中點坐標為（1，），k_AB=-，
∴弦AB垂直平分線的斜率為2，
則圓M的弦AB的中垂線方程為4x-2y-3=0，①
又圓M與x-y+3=0相切，切點為（-3，0），且x-y+3=0的斜率為1，
∴圓心所在直線方程的斜率為-1，
則圓心所在直線為y-0=-x+3），即y+x+3=0，②
聯(lián)立①②，
解得：，∴M（，），（6分）
∴半徑|MA|==，所以所求圓方程為（x+）²+（y+）²=，
即x²+y²+x+5y-6=0． （8分）
（3）假設存在直線l，不妨設所求直線l方程為y=x+k，D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）
聯(lián)立方程得：2x²+（2k+6）x+k²+5k-6=0…（9分）
又△=（2k+6）²-8（k²+5k-6）＞0得-7＜k＜3…（10分）
，x₁+x₂=-（k+3），…（11分）
依題意得 x₁x₂+y₁y₂=0…（12分）
故k²+2k-6=0解得：…（13分）
經(jīng)驗證，滿足題意．
故所求直線方程為：或…（14分）
分析：（1）由AC邊上的BH所在的直線方程為y=0，即為x軸，根據(jù)兩直線垂直時滿足的關(guān)系，得到AC所在直線應為y軸，即x=0，與中線CD所在的直線方程聯(lián)立組成方程組，求出方程組的解集得到C的坐標，由B在x軸上，設出B的坐標為（b，0），利用中點坐標公式表示出AB的中點坐標，代入中線CD所在直線的方程，求出b的值，確定出B的坐標；
（2）根據(jù)垂徑定理得到弦AB的垂直平分線過圓心M，根據(jù)AB的斜率，利用兩直線垂直時斜率的乘積為-1求出弦AB垂直平分線的斜率，再由AB中點坐標，寫出弦AB垂直平分線的方程，又圓M與直線x-y+3=0相切，由切點P以及求出的斜率寫出此直線的方程，與弦AB垂直平分線的方程聯(lián)立組成方程組，求出方程組的解可得出圓心M的坐標，再由A和M的坐標，利用兩點間的距離公式求出|AM|的長，即為圓M的半徑，由圓心和半徑寫出圓M的標準方程，化簡后即可得到圓M的方程．
（3）設出直線方程利用直線與圓的方程聯(lián)立方程組，通過判別式與韋達定理，利用DE為直徑的圓經(jīng)過原點．得到x₁x₂+y₁y₂=0，求出k的值，然后求出直線方程．
點評：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有：線段中點坐標公式，兩直線垂直時斜率滿足的關(guān)系，直線的點斜式方程，切線的性質(zhì)，垂徑定理，以及圓的標準方程，是一道綜合性較強的�？碱}．