解:(1)∵AC邊上的高BH所在直線的方程為y=0,即為x軸,
∴直線AC的方程為y軸,即為直線x=0,又直線CD:2x-2y-1=0,
聯(lián)立得:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/232956.png)
解得:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/182171.png)
∴C(0,-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
),
設(shè)B(b,0),又A(0,1),
∴AB的中點(diǎn)D(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8059.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
),
把D坐標(biāo)代入方程2x-2y-1=0得:b-1-1=0,解得:b=2,
∴B(2,0);(4分)
(2)由A(0,1),B(2,0)可得:
線段AB中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
),k
AB=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
,
∴弦AB垂直平分線的斜率為2,
則圓M的弦AB的中垂線方程為4x-2y-3=0,①
又圓M與x-y+3=0相切,切點(diǎn)為(-3,0),且x-y+3=0的斜率為1,
∴圓心所在直線方程的斜率為-1,
則圓心所在直線為y-0=-x+3),即y+x+3=0,②
聯(lián)立①②,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/538158.png)
解得:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/276692.png)
,∴M(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/479.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/326.png)
),(6分)
∴半徑|MA|=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/538159.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/79873.png)
,所以所求圓方程為(x+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
)
2+(y+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/259.png)
)
2=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/232966.png)
,
即x
2+y
2+x+5y-6=0. (8分)
(3)假設(shè)存在直線l,不妨設(shè)所求直線l方程為y=x+k,D(x
1,y
1),E(x
2,y
2)
聯(lián)立方程
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/538160.png)
得:2x
2+(2k+6)x+k
2+5k-6=0…(9分)
又△=(2k+6)
2-8(k
2+5k-6)>0得-7<k<3…(10分)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/538161.png)
,x
1+x
2=-(k+3),
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/538162.png)
…(11分)
依題意得 x
1x
2+y
1y
2=0…(12分)
故k
2+2k-6=0解得:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/538163.png)
…(13分)
經(jīng)驗(yàn)證,滿足題意.
故所求直線方程為:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/538164.png)
或
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/538165.png)
…(14分)
分析:(1)由AC邊上的BH所在的直線方程為y=0,即為x軸,根據(jù)兩直線垂直時(shí)滿足的關(guān)系,得到AC所在直線應(yīng)為y軸,即x=0,與中線CD所在的直線方程聯(lián)立組成方程組,求出方程組的解集得到C的坐標(biāo),由B在x軸上,設(shè)出B的坐標(biāo)為(b,0),利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出AB的中點(diǎn)坐標(biāo),代入中線CD所在直線的方程,求出b的值,確定出B的坐標(biāo);
(2)根據(jù)垂徑定理得到弦AB的垂直平分線過圓心M,根據(jù)AB的斜率,利用兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為-1求出弦AB垂直平分線的斜率,再由AB中點(diǎn)坐標(biāo),寫出弦AB垂直平分線的方程,又圓M與直線x-y+3=0相切,由切點(diǎn)P以及求出的斜率寫出此直線的方程,與弦AB垂直平分線的方程聯(lián)立組成方程組,求出方程組的解可得出圓心M的坐標(biāo),再由A和M的坐標(biāo),利用兩點(diǎn)間的距離公式求出|AM|的長,即為圓M的半徑,由圓心和半徑寫出圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程,化簡后即可得到圓M的方程.
(3)設(shè)出直線方程利用直線與圓的方程聯(lián)立方程組,通過判別式與韋達(dá)定理,利用DE為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn).得到x
1x
2+y
1y
2=0,求出k的值,然后求出直線方程.
點(diǎn)評(píng):此題考查了直線與圓的位置關(guān)系,涉及的知識(shí)有:線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式,兩直線垂直時(shí)斜率滿足的關(guān)系,直線的點(diǎn)斜式方程,切線的性質(zhì),垂徑定理,以及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,是一道綜合性較強(qiáng)的常考題.