已知f ( x )是定義在（－∞，+∞）上的奇函數(shù)，且f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) 對(duì)任意x，y∈R都成立．如果當(dāng)x > 0時(shí)，f ( x ) < 0．試判斷函數(shù)f ( x )在區(qū)間（－∞，+∞）上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論

 

答案：
解析：

任取實(shí)數(shù)x1，x2，使x1< x2，則  x1－x2 > 0．

∵  f ( x )是奇函數(shù)，故 －f ( x1 ) = f (－x1)．

又 f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y )  對(duì)任意x，y∈R都成立，

∴  f ( x2 )－f ( x1 ) = f ( x2 ) + f (－x1 )

= f [ x2 + (－x1) ]

= f ( x2－x1 ) < 0 ，

即   f ( x2 ) < f (x1 )    ．

∴  f ( x ) 在 （－∞，+∞）上是減函數(shù)．

 


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f（x）是二次函數(shù)，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），且f（x）在區(qū)間[-1，4]上的最大值是12．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在實(shí)數(shù)m，使得方程f(x)+
37x
=0在區(qū)間（m，m+1）內(nèi)有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

4、已知f（x）是定義在（-3，3）上的奇函數(shù)，當(dāng)0＜x＜3時(shí)，f（x）的圖象如圖所示，那么不等式xf（x）＜0的解集為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f （x）是定義在（-∞，+∞）上的偶函數(shù)，且在（-∞，0]上是增函數(shù)，設(shè)a=f （log47），b=f （log
1
2
3），c=f（0.20.6），則a，b，c的大小關(guān)系是（　�。�
A、c＜b＜a
B、b＜c＜a
C、c＞a＞b
D、a＜b＜c

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

6、已知f （x）是定義在[-2，0）∪（0，2]上奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）的圖象如右圖所示，那么f（x）的值域是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且在[0，+∞）單調(diào)遞增，若f（lgx）＜0，則x的取值范圍是（　�。�
A、（0，1）B、（1，10）C、（1，+∞）D、（10，+∞）

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