Question

某魚塘2009年初有魚10（萬(wàn)條），每年年終將捕撈當(dāng)年魚總量的50%，在第二年年初又將有一部分新魚放入魚塘．根據(jù)養(yǎng)魚的科學(xué)技術(shù)知識(shí)，該魚塘中魚的總量不能超過19.5（萬(wàn)條）（不考慮魚的自然繁殖和死亡等因素對(duì)魚總量的影響），所以該魚塘采取對(duì)放入魚塘的新魚數(shù)進(jìn)行控制，該魚塘每年只放入新魚b（萬(wàn)條）．
（I）設(shè)第n年年初該魚塘的魚總量為a_n（年初已放入新魚b（萬(wàn)條），2010年為第一年），求a₁及a_n+1與a_n間的關(guān)系；
（Ⅱ）當(dāng)b=10時(shí)，試問能否有效控制魚塘總量不超過19.5（萬(wàn)條）？若有效，說明理由；若無(wú)效，請(qǐng)指出哪一年初開始魚塘中魚的總量超過19.5（萬(wàn)條）．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意知2010年初該魚塘的魚總量為，然后根據(jù)此規(guī)律得到；
（Ⅱ）把b=10代入得到{a_n-20}是首項(xiàng)為-5，公比為的等比數(shù)列，即可得到a_n的通項(xiàng)公式，令a_n＞19.5，解出n的值，然后從2010算出第幾年無(wú)效即可．
解答：解：（I）依題意，，

（Ⅱ）當(dāng)b=10時(shí)，，，
所以{a_n-20}是首項(xiàng)為-5，公比為的等比數(shù)列．
故，
得
若第n年初無(wú)效，則⇒2ⁿ＞20⇒n≥5．
所以n≥5，則第5年初開始無(wú)效．
即2014年初開始無(wú)效．
點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用數(shù)列解決實(shí)際問題的能力，以及會(huì)找等比關(guān)系，會(huì)求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．