Question

已知函數(shù)f（x）=（x-a）²e^x（a≠0）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f'（x）-f（x），若函數(shù)g（x）在x=a處的切線與x軸交于A點(diǎn)．與y軸交于B點(diǎn)，求△ABO的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）可求得f′（x）=（x-a）（x-a+2）e^x，令f′（x）＞0，可求其單調(diào)遞增區(qū)間，f′（x）＜0，可求其單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）由（1）知g（x）=2（x-a）e^x，g′（x）=（x-a+2）e^x，可求得k=g′（a），從而可得g（x）在x=a處的切線方程，求得函數(shù)g（x）在x=a處的切線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，從而可求得△ABO的面積．
解答：解：（1）∵f′（x）=（x-a）（x-a+2）e^x，
令f′（x）＞0，得x＜a-2，或x＞a，令f′（x）＜0，得a-2＜x＜a，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，a-2）上是增函數(shù)，在（a-2，a）上是減函數(shù)，在（a，+∞）上是增函數(shù)；
故單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，a-2），（a，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（a-2，a）；
（2）由（1）知g（x）=2（x-a）e^x，g′（x）=（x-a+2）e^x，
k=g′（a）=2e^a，
故函數(shù)g（x）在x=a處的切線方程為：y=2e^a（x-a），故點(diǎn)A（a，0），B（0，-2ae^a），
于是，△ABO的面積為S=×|a|×|-2ae^a|=a²e^a．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，屬于中檔題．