Question

如圖：正四面體MBCD的棱長(zhǎng)為2，AB⊥平面BCD，AB=．
（1）求點(diǎn)A到平面MBC的距離；
（2）求平面ACM與平面BCD所成二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面MBC的法向量，利用．求出點(diǎn)A到平面MBC的距離；
（2）求出平面ACM的法向量，又平面BCD的法向量，利用向量的數(shù)量積公式求出兩個(gè)法向量的夾角余弦，進(jìn)一步求出平面ACM與平面BCD所成二面角的正弦值．
解答：解：（1）△BCD為正三角形，取CD的中點(diǎn)E，則BE⊥CD，
又AB⊥平面BCD，，則以B為原點(diǎn)，過B作l∥CD為x軸，BE為y軸，BA為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
有B（0，0，0），C（1，，0），M（0，），A（0，0，）
設(shè)平面MBC的法向量為，），
所以解得

設(shè)點(diǎn)A到平面MBC的距離為d則．
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024184407487345092/SYS201310241844074873450017_DA/12.png">，，
設(shè)平面ACM的法向量為
則有解得
又平面BCD的法向量
所以
設(shè)平面ACM與平面BCD所成二面角的所成的角為θ
所以
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線與平面垂直的判定，以及二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力，運(yùn)算能力和推理論證能力．