Question

（2013•江西）過(guò)點(diǎn)（

2

，0）引直線l與曲線y=

1-x2

相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)△ABO的面積取得最大值時(shí)，直線l的斜率等于（　　）

• A．

  3

  3

• B．-

  3

  3

• C．±

  3

  3

• D．-

  3

Answer 1

分析：由題意可知曲線為單位圓在x軸上方部分（含與x軸的交點(diǎn)），由此可得到過(guò)C點(diǎn)的直線與曲線相交時(shí)k的范圍，設(shè)出直線方程，由點(diǎn)到直線的距離公式求出原點(diǎn)到直線的距離，由勾股定理求出直線被圓所截半弦長(zhǎng)，寫(xiě)出面積后利用配方法轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值．

解答：解：由y=

1-x2

，得x²+y²=1（y≥0）．
所以曲線y=

1-x2

表示單位圓在x軸上方的部分（含與x軸的交點(diǎn)），
設(shè)直線l的斜率為k，要保證直線l與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，且直線不與x軸重合，
則-1＜k＜0，直線l的方程為y-0=k(x-

2

)，即kx-y-

2

k=0．
則原點(diǎn)O到l的距離d=

- 2 k

k2+1

，l被半圓截得的半弦長(zhǎng)為

1-( - 2 k k2+1 )2

=

1-k2 k2+1

．
則S△ABO=

- 2 k

k2+1

•

1-k2 k2+1

=

2k2(1-k2) (k2+1)2

=

-2(k2+1)2+6(k2+1)-4 (k2+1)2

=

- 4 (k2+1)2 + 6 k2+1 -2

．
令

1

k2+1

=t，則S△ABO=

-4t2+6t-2

，當(dāng)t=

3

4

，即

1

k2+1

=

3

4

時(shí)，S_△ABO有最大值為

1

2

．
此時(shí)由

1

k2+1

=

3

4

，解得k=-

3

3

．
故答案為B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線的斜率，考查了直線與圓的關(guān)系，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，考查了配方法及二次函數(shù)求最值，解答此題的關(guān)鍵在于把面積表達(dá)式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，是中檔題．