Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x3﹣ax，g（x）= x2﹣lnx﹣ ．
（1）若f（x）和g（x）在同一點處有相同的極值，求實數(shù)a的值；
（2）對于一切x∈（0，+∞），有不等式f（x）≥2xg（x）﹣x2+5x﹣3恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）設(shè)G（x）= x2﹣ ﹣g（x），求證：G（x）＞ ﹣ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵g′（x）=x﹣ = ，∴當(dāng)x∈（0，1）時，g'（x）＜0，則g（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（1，+∞）時，g'（x）＞0，則g（x）單調(diào)遞增．∴g（x）極小值=g（1）=﹣2

又∵f（x）和g（x）在同一點處有相同的極值，

∴f（1）=1﹣a=﹣2，即a=3

（2）解：若使對于一切x∈（0，+∞），不等式f（x）≥2xg（x）﹣x2+5x﹣3恒成立，則只需使得不等式 恒成立，即只需

設(shè) ，則 ，

∴當(dāng)x∈（0，1）時，t'（x）＜0，則t（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（1，+∞）時，t'（x）＞0，則t（x）單調(diào)遞增．

∴t（x）最小值=t（1）=4，

∴a≤4，即a的取值范圍為（﹣∞，4]

（3）解：若證 ，則只需證明 ，即證

設(shè)m（x）=xlnx，則m'（x）=lnx+1，由于m（x）在 單調(diào)遞減，在 單調(diào)遞增，所以 ；設(shè) ，則 ，由于n（x）在（0，1）單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減，所以 ．

所以m（x）≥n（x）又由于m（x）與n（x）不在同一個變量時取得最值，即m（x）＞n（x）

綜上所述，

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，求出函數(shù)的極小值，然后列出方程求解a 即可．（2）使對于一切x∈（0，+∞），不等式f（x）≥2xg（x）﹣x2+5x﹣3恒成立，轉(zhuǎn)化為 恒成立，只需 ，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最小值，推出a的范圍即可．（3）若證 ，則只需證明 ，即證 ，構(gòu)造函數(shù)設(shè)m（x）=xlnx，利用函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的極值，推出結(jié)果即可．
【考點精析】利用函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．