Question

設(shè)函數(shù)f（x）=sinx-cosx+x+1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由已知得f′(x)=1+

2

sin(x+

π

4

)，由此利用三角函數(shù)性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．

解答： 解：由已知得f′(x)=1+

2

sin(x+

π

4

)，
由三角函數(shù)性質(zhì)得f'（x）為x=-π+2kπ，T=2π的周期函數(shù)，
令f'（x）=0，1+

2

sin(x+

π

4

)=0，
解得x=-

π

2

+2kπ或x=-

π

2

+2kπ，k∈Z

x	(-π+2kπ，- π 2 +2kπ)	- π 2 +2kπ	(- π 2 +2kπ，π+2kπ)	π+2kπ
f'（x）	-	0	+	0
f（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增	極大值

由上表知，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為(-π+2kπ，-

π

2

+2kπ)，單調(diào)遞增區(qū)間為(-

π

2

+2kπ，π+2kπ)，k∈Z．
極小值為f(-

π

2

+2kπ)=-

π

2

+2kπ，極大值為f（π+2kπ）=π+2kπ+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查實(shí)數(shù)的極值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和分類討論思想的合理運(yùn)用．