Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)在上的單調(diào)性；

（2）是否存在正實數(shù)，使與的圖象有唯一一條公切線，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；（2）存在，

【解析】

（1）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，對參數(shù)進(jìn)行分類討論，即可容易求得函數(shù)的單調(diào)性；

（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得在任意一點(diǎn)處的切線方程，求得方程組，根據(jù)方程有唯一解，利用導(dǎo)數(shù)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，即可求得.

(1)，

當(dāng)時，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，由得，由得，

所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減；函數(shù)在上單調(diào)遞增.

(2)函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為

，即；

函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為

，即

由與的圖象有唯一一條公切線，

∴，由①得代入②消去，

整理得 ③

則此關(guān)于的方程③有唯一解，

令，

令，

由得；由得所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

則，

（i）當(dāng)時，二次函數(shù)在上顯然有一個零點(diǎn)，

時，由方程可得

而所以

則

所以二次函數(shù)在上也有一個零點(diǎn)，不合題意.

綜上，.

所以存在正實數(shù)，使與的圖象有唯一一條公切線.