設(shè)數(shù)列{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,公比為q,Sn是其前n項(xiàng)和.
(1)證明;
(2)設(shè),記數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n,試比較q2Sn和Tn的大。
【答案】分析:(1)由題設(shè)知當(dāng)q=1時(shí),Sn•Sn+2-Sn+12=na1•(n+2)a1-(n+1)2a12=-a12<0;當(dāng)q≠1時(shí),Sn•Sn+2-Sn+12==-a12qn<0.由此可知Sn•Sn+2-Sn+12<0.所以
(2)方法一:由題意知Tn=,Tn-q2Sn=≥2,所以Tn>q2S.
方法二:由題意知Tn=,再由,利用均值不等式可知Tn>q2S.
解答:證明:(1)由題設(shè)知a1>0,q>0.(1分)
(i)當(dāng)q=1時(shí),Sn=na1,
于是Sn•Sn+2-Sn+12=na1•(n+2)a1-(n+1)2a12=-a12<0,(3分)
(ii)當(dāng)q≠1時(shí),
于是Sn•Sn+2-Sn+12==-a12qn<0.(7分)
由(i)和(ii),得Sn•Sn+2-Sn+12<0.
所以Sn•Sn+2<Sn+12,.(8分)
(2)方法一:,(11分)
Tn=,
Tn-q2Sn=,(13分)
=≥2>0,(15分)
所以Tn>q2S.(16分)
方法二:Tn=,(11分)
,(13分)
因?yàn)閝>0,所以
(當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取“=”號(hào)),
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213943703459464/SYS201310232139437034594018_DA/18.png">,
所以,即Tn>q2S.(16分)
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的性質(zhì)和綜合應(yīng)用,難度較大,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意公式的合理選用.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)y=f(x)(x∈D),方程f(x)=x的根x0稱(chēng)為函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn);若a1∈D,an+1=f(an)(n∈N*),則稱(chēng){an} 為由函數(shù)f(x)導(dǎo)出的數(shù)列.
設(shè)函數(shù)g(x)=
4x+2
x+3
,h(x)=
ax+b
cx+d
(c≠0,ad-bc≠0,(d-a)2+4bc>0)

(1)求函數(shù)g(x)的不動(dòng)點(diǎn)x1,x2;
(2)設(shè)a1=3,{an} 是由函數(shù)g(x)導(dǎo)出的數(shù)列,對(duì)(1)中的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)x1,x2(不妨設(shè)x1<x2),數(shù)列求證{
an-x1
an-x2
}
是等比數(shù)列,并求
lim
n→∞
an

(3)試探究由函數(shù)h(x)導(dǎo)出的數(shù)列{bn},(其中b1=p)為周期數(shù)列的充要條件.
注:已知數(shù)列{bn},若存在正整數(shù)T,對(duì)一切n∈N*都有bn+T=bn,則稱(chēng)數(shù)列{bn} 為周期數(shù)列,T是它的一個(gè)周期.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2011•鐘祥市模擬)設(shè){an}是由正數(shù)組成的等差數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)和
(1)若Sn=20,S2n=40,求S3n的值;
(2)若互不相等正整數(shù)p,q,m,使得p+q=2m,證明:不等式SpSq<Sm2成立;
(3)是否存在常數(shù)k和等差數(shù)列{an},使kan2-1=S2n-Sn+1恒成立(n∈N*),若存在,試求出常數(shù)k和數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}是由正數(shù)組成的等差數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)的和,并且a3=5,a4S2=28.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求使不等式(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)≥a
2n+1
對(duì)一切n∈N*均成立的最大實(shí)數(shù)a;
(3)對(duì)每一個(gè)k∈N*,在ak與ak+1之間插入2k-1個(gè)2,得到新數(shù)列{bn},設(shè)Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,試問(wèn)是否存在正整數(shù)m,使Tm=2008?若存在求出m的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•金華模擬)設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,公比為q,Sn是其前n項(xiàng)和.
(1)若q=2,且S1-2,S2,S3成等差數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求證:對(duì)任意正整數(shù)n,Sn,Sn+1,Sn+2不成等比數(shù)列.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知函數(shù)y=f(x)(x∈D),方程f(x)=x的根x0稱(chēng)為函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn);若a1∈D,an+1=f(an)(n∈N*),則稱(chēng){an} 為由函數(shù)f(x)導(dǎo)出的數(shù)列.
設(shè)函數(shù)g(x)=
4x+2
x+3
,h(x)=
ax+b
cx+d
(c≠0,ad-bc≠0,(d-a)2+4bc>0)

(1)求函數(shù)g(x)的不動(dòng)點(diǎn)x1,x2;
(2)設(shè)a1=3,{an} 是由函數(shù)g(x)導(dǎo)出的數(shù)列,對(duì)(1)中的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)x1,x2(不妨設(shè)x1<x2),數(shù)列求證{
an-x1
an-x2
}
是等比數(shù)列,并求
lim
n→∞
an
;
(3)試探究由函數(shù)h(x)導(dǎo)出的數(shù)列{bn},(其中b1=p)為周期數(shù)列的充要條件.
注:已知數(shù)列{bn},若存在正整數(shù)T,對(duì)一切n∈N*都有bn+T=bn,則稱(chēng)數(shù)列{bn} 為周期數(shù)列,T是它的一個(gè)周期.

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