Question

【題目】設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足：，，．

（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）若正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，，且，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對任意，均有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）an＝2n；（Ⅱ）[，+∞）．

【解析】

（Ⅰ）對遞推關(guān)系再遞推一步，兩式相減，最后結(jié)合等差數(shù)列的定義進(jìn)行求解即可；

（Ⅱ）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)合已知求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后利用錯(cuò)位相減法、判斷數(shù)列的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.

（Ⅰ）因?yàn)?/span>，所以（n≥2），

兩式相減得：an+12﹣an2＝4an+4，即an+12＝（an+2）2（n≥2），

又因?yàn)閿?shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以an+1＝an+2（n≥2），

又因?yàn)?/span>a2＝4，16＝a12+4+4，可得a1＝2，

所以當(dāng)n＝1時(shí)上式成立，即數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2、公差為2的等差數(shù)列，

所以；

（Ⅱ）由（1）可知b1＝a1＝2，b3＝a4＝8，所以正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為：，

因此bn＝；cn＝．

①

②

① —②得：

恒成立，等價(jià)于恒成立，

所以恒成立，

設(shè)kn＝，則kn+1﹣kn＝﹣＝，

所以當(dāng)n≤4時(shí)kn+1＞kn，當(dāng)n＞4時(shí)kn+1＜kn，

所以

所以當(dāng)kn的最大值為k5＝，故m≥，

即實(shí)數(shù)m的取值范圍是：[，+∞）．