Question

己知tan（π+a）=-

1

3

．
（1）求

sin(π-2α)+cos2α

2cos2α+sin2α+2

．
（2）若α是鈍角，α-β是銳角，且sin(α-β)=

3

5

，求sinβ的值．

Answer 1

分析：（1）已知等式左邊利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求出tanα的值，所求式子利用誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)，將tanα的值代入計(jì)算即可求出值；
（2）由α是鈍角，α-β是銳角，根據(jù)tanα的值求出sinα與cosα的值，再由sin（α-β）求出cos（α-β）的值，所求式子中的角度變形后，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，將各自的值代入計(jì)算即可求出值．

解答：解：（1）∵tan（π+α）=tanα=-

1

3

，
∴原式=

2sinαcosα+cos2α

4cos2α+2sinαcosα

=

2tanα+1

4+2tanα

=

1

10

；
（2）∵α為鈍角，tanα=-

1

3

，α-β為銳角，sin（α-β）=

3

5

，
∴cosα=-

3 10

10

，sinα=

10

10

，cos（α-β）=

4

5

，
∴sinβ=sin[α-（α-β）]=sinαcos（α-β）-cosαsin（α-β）=

13 10

50

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及誘導(dǎo)公式的作用，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．