Question

[x]表示不超過x的最大整數(shù)，定義函數(shù)f（x）=x-[x]．則下列結論中正確的有

②

①函數(shù)f（x）的值域為[0，1]；
②方程f（x）=

1

2

有無數(shù)個解
③函數(shù)f（x）的圖象是一條直線；   
④函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)．

Answer 1

分析：在解答時要先充分理解[x]的含義，從而可知針對于選項注意對新函數(shù)的最值、單調(diào)性以及周期性加以分析即可．

解答：解：∵函數(shù)f（x）的定義域為R，又∵f（x+1）=（x+1）-[x+1]=x-[x]=f（x），
∴函數(shù){x}=x-[x]是周期為1的函數(shù)，每隔一個單位重復一次，
所以方程f（x）=

1

2

有無數(shù)個解，故②正確；
當0≤x＜1時，f（x）=x-[x]=x-0=x，∴函數(shù){x}的值域為[0，1），故①錯誤；
函數(shù){x}是周期為1的函數(shù)，∴函數(shù){x}不是單調(diào)函數(shù)，當然圖象也不可能為一條直線，
故③④錯誤．
故答案為：②

點評：本題考查分段函數(shù)知識和函數(shù)值域等性質的綜合類問題，屬中檔題．