Question

已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的周期為π，圖像的一個對稱中心為，將函數(shù)f(x)圖像上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，在將所得圖像向右平移個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖像．

(1)求函數(shù)f(x)與g(x)的解析式；

(2)是否存在，使得f(x₀)，g(x₀)，f(x₀)g(x₀)按照某種順序成等差數(shù)列？若存在，請確定x₀的個數(shù)；

若不存在，說明理由．

(3)求實(shí)數(shù)a與正整數(shù)n，使得F(x)＝f(x)＋ag(x)在(0，nπ)內(nèi)恰有2013個零點(diǎn)．

Answer 1

答案：
解析：

　　本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系．三角恒等變換．三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．函數(shù)．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．函數(shù)的零點(diǎn)．不等式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力．抽象概括能力，考查函數(shù)與方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，分類與整合思想．化歸與轉(zhuǎn)化思想，滿分14分．

　　解：(Ⅰ)由函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋Φ)的周期為_π，ω＞0，得ω＝2

　　又曲線y＝f(x)的一個對稱中心為，

　　故，得，所以f(x)＝cos2x

　　將函數(shù)f(x)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)后可得y＝cosx的圖象，再將y＝cosx的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)g(x)＝sinx

　　(Ⅱ)當(dāng)時，，

　　所以sinx＞cos2x＞sinxcos2x

　　問題轉(zhuǎn)化為方程2cos2x＝sinx＋sinxcos2x在內(nèi)是否有解

　　設(shè)G(x)＝sinx＋sinxcos2x－2cos2x，

　　則

　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60R0/0764/0020/b2a634d2a92d5572208a01275e881f25/C/Image149.gif" width=72 height=41>，所以，G(x)在內(nèi)單調(diào)遞增

　　又，

　　且函數(shù)G(x)的圖象連續(xù)不斷，故可知函數(shù)G(x)在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)x₀，

　　即存在唯一的滿足題意

　　(Ⅲ)依題意，F(xiàn)(x)＝asinx＋cos2x，令F(x)＝asinx＋cos2x＝0

　　當(dāng)sinx＝0，即x＝kπ(k∈Z)時，cos2x＝1，從而x＝kπ(k∈Z)不是方程F(x)＝0的解，所以方程F(x)＝0等價于關(guān)于_x的方程，

　　現(xiàn)研究時方程解的情況

　　令，

　　則問題轉(zhuǎn)化為研究直線y＝a與曲線y＝h(x)在的交點(diǎn)情況

　　，令，得或

　　當(dāng)x變化時，h(x)和變化情況如下表

　　當(dāng)x＞0且x趨近于0時，h(x)趨向于－∞

　　當(dāng)x＜π且x趨近于π時，h(x)趨向于－∞

　　當(dāng)x＞π且x趨近于π時，h(x)趨向于＋∞

　　當(dāng)x＜2π且x趨近于2π時，h(x)趨向于＋∞

　　故當(dāng)a＞1時，直線y＝a與曲線y＝h(x)在(0，π)內(nèi)有無交點(diǎn)，在(π，2π)內(nèi)有2個交點(diǎn)；

　　當(dāng)a＜－1時，直線y＝a與曲線y＝h(x)在(0，π)內(nèi)有2個交點(diǎn)，在(π，2π)內(nèi)無交點(diǎn)；

　　當(dāng)－1＜a＜1時，直線y＝a與曲線y＝h(x)在(0，π)內(nèi)有2個交點(diǎn)，在(π，2π)內(nèi)有2個交點(diǎn)

　　由函數(shù)h(x)的周期性，可知當(dāng)a≠±1時，直線y＝a與曲線y＝h(x)在(0，nπ)內(nèi)總有偶數(shù)個交點(diǎn)，從而不存在正整數(shù)n，使得直線y＝a與曲線y＝h(x)在(0，nπ)內(nèi)恰有2013個交點(diǎn)；當(dāng)a＝±1時，直線y＝a與曲線y＝h(x)在內(nèi)有3個交點(diǎn)，由周期性，2013＝3×671，所以n＝671×2＝1342

　　綜上，當(dāng)a＝±1，n＝1342時，函數(shù)F(x)＝f(x)＋ag(x)在(0，nπ)內(nèi)恰有2013個零點(diǎn)