Question

已知等比數(shù)列{a_n}，公比為q（0＜q＜1），a₂+a₅=

9

4

，a₃•a₄=

1

2

．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）當(dāng)b_n=

1-(-1)n

2

a_n，求證：b₁+b₂+b₃+…+b_2n-1＜

16

3

．

Answer 1

分析：（I）先根據(jù)條件求出第2項(xiàng)和第5項(xiàng)，從而求出首項(xiàng)和公比，然后根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可；
（II）根據(jù)bn=

1-(-1)n

2

an可得b₁+b₂+…+b_2n-1=a₁+a₃+…+a_2n-1，然后根據(jù)等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行求和，從而證得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）∵等比數(shù)列{a_n}，a3•a4=

1

2

=a₂•a₅
而a2+a5=

9

4

，0＜q＜1∴a₂=2，a₅=

1

4

∴a₁=4，q=

1

2

∴其通項(xiàng)公式為a_n=

8

2n

．…（7分）
（Ⅱ）bn=

0   (n=2k，k∈N+) an ( n=2k-1，k∈N+)

 …（10分）
∴b₁+b₂+…+b_2n-1=a₁+a₃+…+a_2n-1
=

4[1-( 1 4 )n]

1- 1 4

=

16

3

[1-(

1

4

)n] ＜

16

3

．…（14分）

點(diǎn)評：本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及數(shù)列與不等式的綜合，屬于中檔題．