Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=，a_n=（n≥2，n∈N）．
（1）試判斷數(shù)列{+（-1）ⁿ}是否為等比數(shù)列，并說(shuō)明理由；
（2）設(shè)b_n=，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（3）設(shè)c_n=a_nsin，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n．求證：對(duì)任意的n∈N^*，T_n＜2．

Answer 1

【答案】分析：（（1）根據(jù)題意，對(duì)a_n=（n≥2）進(jìn)行變形可得==從而證得結(jié)論；
（2）根據(jù)（1）求出數(shù)列a_n，從而求得b_n，利用分組求和法即可求得結(jié)果；
（3）首先確定出數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式，利用放縮的思想將數(shù)列的每一項(xiàng)進(jìn)行放縮，轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的求和問(wèn)題達(dá)到證明不等式的目的．
解答：解：（1）由a_n=得：==
∴==
又∵a₁=，∴=2-1=1
∴數(shù)列列{+（-1）ⁿ}是首項(xiàng)為1，公比為-2的等比數(shù)列．
（2）由（1）的結(jié)論有，
即．
∴b_n==（1+2^n-1）²=1+2ⁿ+4^n-1
∴S_n=（1+2+4）+（1+2²+4¹）+…+（1+2ⁿ+4^n-1）
=（1+1+…+1）+（2+2²+…+2ⁿ）+（4+4¹+…+4^n-1）
=
=
（3）∵===（-1）^n-1
由c_n=a_nsin==
∴T_n=+…+
==
∴對(duì)任意的n∈N^*，T_n＜2
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列，求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，分組求和及等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用．