Question

【題目】設(shè)點(diǎn)在圓上，直線上圓在點(diǎn)處的切線，過點(diǎn)作圓的切線與交于點(diǎn)．

（Ⅰ）證明為定值，并求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)的直線與曲線分別交于和，且，求四邊形面積的最小值．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2).

【解析】分析：（1）設(shè)與圓相切于點(diǎn)，根據(jù)題意得，進(jìn)而得，利用橢圓的定義，即可求解橢圓的方程．

（2）（ⅰ）當(dāng)直線的斜率為零或斜率不存在時(shí)，四邊形的面積為；

（ⅱ）當(dāng)直線的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)：，聯(lián)立方程組，得，得到，同理得，進(jìn)而得到四邊形面積的表達(dá)式，利用基本不等式，即可求解四邊形面積的最小值．

詳解：（1）設(shè)與圓相切于點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，因?yàn)?/span>，

所以，

而，

又因?yàn)?/span>，所以，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓，

，，所以點(diǎn)的軌跡的方程為：．

（2）（ⅰ）當(dāng)直線的斜率為零或斜率不存在時(shí)，四邊形的面積為；

（ⅱ）當(dāng)直線的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)：，

，，由得：，

由， ，，

所以，

而：，所以同理得：，

所以，令 （），則，所以，

所以，即時(shí)，四邊形面積的最小值．