Question

（12分）已知二次函數(shù)。
（1）若函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)q的取值范圍；
（2）問(wèn)是否存在常數(shù)t(t≥0)，當(dāng)x∈[t,10]時(shí)，f(x)的最大值與最小值之差為12-t。

Answer 1

（1）-20≤q≤12。
（2）存在常數(shù),8,9滿足條件。

（1）∵函數(shù)的對(duì)稱軸是x=8，
∴函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上是減函數(shù)。
∵函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上存在零點(diǎn)，則必有：
即，∴-20≤q≤12。
（2）∵0≤t≤10，f(x)在區(qū)間[0,8]上是減函數(shù)，在區(qū)間[8,10]上是增函數(shù)，且對(duì)稱軸是x=8。
①當(dāng)0≤t≤6時(shí)，在區(qū)間[t,10]上，f(t)最大，f(8)最小，
∴f(t)-f(8)=12-t,即t²-15t+52=0,解得，
所以；
②當(dāng)6<t≤8時(shí)，在區(qū)間[t,10]上，f(10)最大，f(8)最小，
∴f(10)-f(8)=12-t,解得t=8；
③當(dāng)8＜t≤10時(shí)，在區(qū)間[t,10]上，f(10)最大，f(t)最小，
∴f(10)-f(t)=12-t,解得t=8或9.，
∴t=9.
綜上所知，存在常數(shù),8,9滿足條件。