Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD=3AB，平面SAD⊥平面ABCD，M是線段AD上一點(diǎn)，AM=AB，DM=DC，SM⊥AD．
（1）證明：BM⊥平面SMC；
（2）設(shè)三棱錐C-SBM與四棱錐S-ABCD的體積分別為V₁與V，求

V1

V

的值．

Answer 1

分析：（1）證明BM⊥平面SMC，由題意及圖形，先證SM⊥BM，再證BM⊥CM，然后由線面垂直的判定定理直接得出結(jié)論即可．
（2）由圖形知，三棱錐C-SBM與三棱錐S-CBM的體積相等，而三棱錐S-CBM與四棱錐S-ABCD等高，故體積比可以轉(zhuǎn)化成面積比，代入數(shù)據(jù)計(jì)算既得．

解答：解：（1）證明：∵平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD=AD，SM?平面SAD，SM⊥AD
∴SM⊥平面ABCD，（1分）
∵BM?平面ABCD，∴SM⊥BM．（2分）
∵四邊形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AM=AB，DM=DC，
∴△MAB，△MDC都是等腰直角三角形，
∴∠AMB=∠CMD=45°，∠BMC=90°，BM⊥CM．（4分）
∵SM?平面SMC，CM?平面SMC，SM∩CM=M，
∴BM⊥平面SMC（6分）
（2）三棱錐C-SBM與三棱錐S-CBM的體積相等，
由（1）知SM⊥平面ABCD，
得

V1

V

=

1 3 SM× 1 2 BM×CM

1 3 SM× 1 2 (AB+CD)×AD

，（9分）
設(shè)AB=a，由CD=3AB，AM=AB，DM=DC，
得CD=3a，BM=

2

a，CM=3

2

a，AD=4a，
從而

V1

V

=

2 a×3 2 a

(a+3a)×4a

=

3

8

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了面面垂直的性質(zhì)定理，線面垂直的判定定理，線面垂直的性質(zhì)定理以及棱錐的體積公式等，涉及到的知識(shí)較多，綜合性很強(qiáng)，對(duì)答題者根據(jù)題設(shè)條件及要解決的問題進(jìn)行知識(shí)的重新組合、靈活轉(zhuǎn)化的能力要求較高．