Question

如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)，G分別為A₁B₁、B₁C₁、C₁D₁的中點．
（1）求異面直線AG與BF所成角的余弦值；
（2）求證：AG∥平面BEF；
（3）試在棱BB₁上找一點M，使DM⊥平面BEF，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標系，可得

AG

=(-1，

1

2

，1)，

BF

=(-

1

2

，0，1)，進而利用向量的有關運算計算出兩個向量的夾角，再轉化為兩條異面直線的夾角．
（2）利用向量的關系可得：

AG

=

EF

+

BF

，所以

AG

與平面BEF共面，再根據(jù)線面平行的判定定理可得答案．
（3）因為DM⊥平面BEF，所以

DM

•

EF

=0，

DM

•

BF

=0，進而求出m的數(shù)值得到答案．

解答：解：（1）以D為坐標原點，DA，DC，DD₁分別作為x軸，y軸和z軸建立空間直角坐標系，
則A（1，0，0），B（1，1，0），E(1，

1

2

，1)，F(

1

2

，1，1)，G(0，

1

2

，1)，
∴

AG

=(-1，

1

2

，1)，

BF

=(-

1

2

，0，1)，
∴cos＜

AG

，

BF

＞=

3 2

3 2 • 5 2

=

2 5

5

故異面直線AG與BF所成角的余弦值為

2 5

5

．
（2）∵

EF

=(-

1

2

，

1

2

，0)，

BF

=(-

1

2

，0，1)，
而

AG

=(-1，

1

2

，1)，∴

AG

=

EF

+

BF

，
故

AG

與平面BEF共面，
又因為AG不在平面BEF內，
∴AG∥平面BEF．
（3）設M（1，1，m），則

DM

=(1，1，m)
由

DM

•

EF

=0，

DM

•

BF

=0，
∴-

1

2

+m=0?m=

1

2

，
所以M為棱BB₁的中點時，DM⊥平面BEF．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握幾何體的結構特征，建立空間直角坐標系以便利用向量的有關知識解決線面關系與空間角等問題．