Question

對于函數(shù)f（x），若存在x∈R，使f（x）=x成立，則稱x為f（x）的不動點(diǎn)．如果函數(shù)f（x）=有且僅有兩個不動點(diǎn)0和2．
（1）試求b、c滿足的關(guān)系式．
（2）若c=2時，各項不為零的數(shù)列{a_n}滿足4S_n•f（）=1，求證：＜＜．
（3）設(shè)b_n=-，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項和，求證：T₂₀₀₉-1＜ln2009＜T₂₀₀₈．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)=x的不動點(diǎn)為0和2，由此知即即且c≠0．
（2）由c=2，知b=2，，2S_n=a_n-a_n²，且a_n≠1．所以a_n-a_n-1=-1，a_n=-n，要證待證不等式，只要證，即證，只要證，即證．考慮證不等式（x＞0），由此入手能導(dǎo)出＜＜．
（3）由b_n=，知T_n=．在中，令n=1，2，3，…，2008，并將各式相加，能得到T₂₀₀₉-1＜ln2009＜T₂₀₀₈．
解答：解：（1）設(shè)=x的不動點(diǎn)為0和2
∴即即且c≠0
（2）∵c=2∴b=2∴f（x）=，
由已知可得2S_n=a_n-a_n²①，且a_n≠1．
當(dāng)n≥2時，2S_n-1=a_n-1-a_n-1²②，
①-②得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1+1）=0，∴a_n=-a_n-1或a_n=-a_n-1=-1，
當(dāng)n=1時，2a₁=a₁-a₁²⇒a₁=-1，
若a_n=-a_n-1，則a₂=1與a_n≠1矛盾．∴a_n-a_n-1=-1，∴a_n=-n
∴要證待證不等式，只要證，
即證，
只要證，即證．
考慮證不等式（x＞0）**．
令g（x）=x-ln（1+x），h（x）=ln（x+1）-（x＞0）．
∴g'（x）=，h'（x）=，
∵x＞0，∴g'（x）＞0，h'（x）＞0，∴g（x）、h（x）在（0，+∞）上都是增函數(shù)，
∴g（x）＞g（0）=0，h（x）＞h（0）=0，∴x＞0時，．
令x=則**式成立，∴＜＜，
（3）由（Ⅱ）知b_n=，則T_n=1+
在中，令n=1，2，3，，2008，并將各式相加，
得＜1+．
即T₂₀₀₉-1＜ln2009＜T₂₀₀₈．
點(diǎn)評：本題考查不等式的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意公式的合理運(yùn)用．