Question

已知橢圓，其相應(yīng)于焦點(diǎn)F(2，0)的準(zhǔn)線方程為x=4.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）已知過點(diǎn)F₁(-2,0)傾斜角為的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn).

　　　　求證：

（Ⅲ）過點(diǎn)F₁(-2,0)作兩條互相垂直的直線分別交橢圓C于點(diǎn)A、B和D、E，求的最小值.

Answer 1

本題主要考查直線的方程、橢圓的方程和性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系的知識(shí).考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想以及運(yùn)算能力和綜合解題能力.

解 ：（1）由題意得：

                

           橢圓的方程為

       (2)方法一：

         由（1）知是橢圓的左焦點(diǎn)，離心率

         設(shè)為橢圓的左準(zhǔn)線。則

         作，與軸交于點(diǎn)H(如圖)

         點(diǎn)A在橢圓上

       

              

              

       

       同理

       。

方法二：

      當(dāng)時(shí)，記，則

      將其代入方程   得

      設(shè)  ，則是此二次方程的兩個(gè)根.

     

     

             ................(1)

      代入（1）式得       ........................(2)

      當(dāng)時(shí)，  仍滿足（2）式。

     

（3）設(shè)直線的傾斜角為，由于由（2）可得

                ，

   

    當(dāng)時(shí)，取得最小值