Question

已知函數(shù)f（x）=x³-x．
（1）設(shè)M（λ₀，f（λ₀））是函數(shù)f（x）圖象上的-點，求點M處的切線方程；
（2）證明：過點N（2，1）可以作曲線，f（x）=x³-x的三條切線．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x），根據(jù)切點為M（λ₀，f（λ₀））得到切線的斜率為f'（t），所以根據(jù)斜率和M點坐標(biāo)寫出切線方程即可；
（2）如果切點是N（2，1），由（1）知，則存在t使1=2（3t²-1）x-2t³，于是過點N（2，1），可作曲線y=f（x）的三條切線即為方程2t³-6t²+3=0有三個相異的實數(shù)根．記g（t）=2t³-6t²+3=0，求出其導(dǎo)函數(shù)=0時t的值，利用t的值分區(qū)間討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到g（t）的單調(diào)區(qū)間，利用g（t）的增減性得到g（t）的極值，根據(jù)極值分區(qū)間考慮方程g（t）=0有三個相異的實數(shù)根，得到g（t）在R上中人有一個極大值3和一個極小值-5，即可得證．

解答：解：（1）求函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)；f'（x）=3x²-1．
曲線y=f（x）在點M（λ₀，f（λ₀））處的切線方程為：y-f（λ₀）=f'（λ₀）（x-λ₀），即y=（3λ₀²-1）x-2λ₀³；
（2）如果切點是N（2，1），由（1）知，則存在t，使1=2（3t²-1）x-2t³．
于是方程2t³-6t²+3=0有三個相異的實數(shù)根．
記g（t）=2t³-6t²+3，則g'（t）=6t²-12t=6t（t-2）．
當(dāng)t變化時，g（t），g'（t）變化情況如下表：

由于g（t）在R上中人有一個極大值3和一個極小值-5，故過點N（2，1）可以作曲線，f（x）=x³-x的三條切線．

點評：考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點的切線方程，會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值．