Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F．
（1）證明：PA∥平面EDB；
（2）證明：DE⊥BC；
（3）求BD和平面EFD所成角的余弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）連接AC與BD交于一點O，只需證明EO∥PA即可．
（2）只需證BC垂直于面PAD即可；
（3）只要找到BD在面DEF內(nèi)的射影即可，然后將這個角放在直角三角形中求解．

解答： 證明：（1）連接AC，AC交BD于O，連接EO，
因為底面ABCD是正方形，所以點O是AC的中點，
在△PAC中，EO是中位線，所以PA∥EO．
而EO?面EDB，PA?面EDB，所以PA∥面EDB．
（2）因為PD⊥面ABCD，且BC?面ABCD，所以PD⊥BC．
因為底面ABCD是正方形，所以BC⊥CD．
而CD∩DP=D，所以BC⊥面CDP，因為DE?面CDP，所以BC⊥DE．
（3）解：因為PD⊥面ABCD，且DC?面ABCD，所以PD⊥DC．
因為PD=PC，所以DE⊥PC．由（2）知DE⊥BC，而BC∩PC=C．
所以DE⊥面PCB，而PB?面PCB，所以DE⊥PB．
又有EF⊥PB，且EF∩DE=E，所以PB⊥面EFD．
所以∠BDF即BD和面EFD所成的角．
令PD=DC=1，則DB=

2

，PB=

3

，
所以cos∠BDF=cos∠DPB=

PD

PB

=

1

3

=

3

3

．
故直線BD與面DEF所成角的余弦值為

3

3

．

點評：本題考查了空間平行與垂直間關(guān)系的轉(zhuǎn)化，同時線面角的計算方法．強調(diào)轉(zhuǎn)化思想證平行與垂直；而線面角則應(yīng)根據(jù)線面角的定義找到它在平面內(nèi)的射影是關(guān)鍵．