Question

設(shè)平面內(nèi)有k條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不共點(diǎn)，設(shè)k條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為f（k），則 f（k+1）與f（k）的關(guān)系是______

Answer 1

【答案】分析：由于第k+1條直線與前面k條直線都有交點(diǎn)，從而可知當(dāng)n=k+1時(shí)交點(diǎn)個(gè)數(shù)與當(dāng)n=k+1時(shí)交點(diǎn)個(gè)數(shù)的關(guān)系．
解答：解：當(dāng)n=k+1時(shí)，任取其中1條直線，記為l，則除l外的其他k條直線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為f（k），
因?yàn)橐阎�任何兩條直線不平行，所以直線l必與平面內(nèi)其他k條直線都相交（有k個(gè)交點(diǎn)）；
又因?yàn)橐阎�任何三條直線不過同一點(diǎn)，所以上面的k個(gè)交點(diǎn)兩兩不相同，
且與平面內(nèi)其他的f（k）個(gè)交點(diǎn)也兩兩不相同，從而平面內(nèi)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是f（k）+k=f（k+1）．
故填：f（k）+k=f（k+1）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)學(xué)歸納法的基本形式：
設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1°P（n）成立（奠基）；2°假設(shè)P（k）成立（k≥n），可以推出P（k+1）成立（歸納），則P（n）對(duì)一切大于等于n的自然數(shù)n都成立