已知函數(shù)f(x)=lnx+
a
x
．
（Ⅰ）當a＜0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值是
3
2
，求a的值．
分析：（Ⅰ）求出f(x)=lnx+
a
x
的導數(shù)，令導數(shù)大于0求函數(shù)的增區(qū)間，導數(shù)小于0求函數(shù)的減區(qū)間．
（Ⅱ）對a進行分類討論，分別求出各種情況下的函數(shù)在[1，e]上的最小值令其為
3
2
解方程求得a的值
解答：解：函數(shù)f(x)=lnx+
a
x
的定義域為（0，+∞），（1分）
f′(x)=
1
x
-
a
x2
=
x-a
x2
（3分）
（Ⅰ）∵a＜0，∴f'（x）＞0，
故函數(shù)在其定義域（0，+∞）上是單調(diào)遞增的．（5分）
（Ⅱ）在[1，e]上，分如下情況討論：
10當a＜1時，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，其最小值為f（1）=a＜1，這與函數(shù)在[1，e]上的最小值是
3
2
相矛盾；
20當a=1時，函數(shù)f（x）在（1，e]單調(diào)遞增，其最小值為f（1）=1，同樣與最小值是
3
2
相矛盾；（7分）
30當1＜a＜e時，函數(shù)f（x）在[1，a）上有f'（x）＜0，單調(diào)遞減，
在（a，e]上有f'（x）＞0，單調(diào)遞增，
所以，函數(shù)f（x）的最小值為f（a）=lna+1，由lna+1=
3
2
，得a=
e
．
40當a=e時，函數(shù)f（x）在[1，e）上有f'（x）＜0，單調(diào)遞減，
其最小值為f（e）=225，還與最小值是
3
2
相矛盾；
50當a＞e時，顯然函數(shù)f（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，其最小值為f(e)=1+
a
e
＞2，仍與最小值是
3
2
相矛盾；（12分）
綜上所述，a的值為
e
．（13分）
點評：本題是導數(shù)的應(yīng)用題，應(yīng)用層數(shù)證明單調(diào)性，求單調(diào)區(qū)間，這是導數(shù)的一個重要運用．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b
（1）若函數(shù)f（x）在P（0，f（0））的切線方程為y=5x+1，求實數(shù)a，b的值：
（2）當a＜3時，令g(x)=
f′(x)
x
，求y=g（x）在[l，2]上的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-alnx的圖象在點P（2，f（2））處的切線方程為l：y=x+b
（1）求出函數(shù)y=f（x）的表達式和切線l的方程；
（2）當x∈[
1
e
，e]時（其中e=2.71828…），不等式f（x）＜k恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=
12
x2+a（a為常數(shù)），直線l與函數(shù)f（x）、g（x）的圖象都相切，且l與函數(shù)f（x）的圖象的切點的橫坐標為1．
（1）求直線l的方程及a的值；
（2）當k＞0時，試討論方程f（1+x2）-g（x）=k的解的個數(shù)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
13
x3+x2+ax．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）設(shè)f（x）有兩個極值點x1，x2，若過兩點（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直線l與x軸的交點在曲線y=f（x）上，求a的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x3-
32
ax2+b，a，b為實數(shù)，x∈R，a∈R．
（1）當1＜a＜2時，若f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值、最大值分別為-2、1，求a、b的值；
（2）在（1）的條件下，求經(jīng)過點P（2，1）且與曲線f（x）相切的直線l的方程；
（3）試討論函數(shù)F（x）=（f′（x）-2x2+4ax+a+1）•ex的極值點的個數(shù)．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案