Question

某種項目的射擊比賽，開始時在距目標100m處射擊，如果命中記3分，且停止射擊；若第一次射擊未擊中，可以進行第二次射擊，但目標已在150m處，這時命中記2分，且停止射擊；若第二次仍未命中，還可以進行第三射擊，此時目標已在200m處，若第三次命中記1分，并停止射擊；若三次都未命中，則記0分．已知射手甲在100m處擊中目標的概率為0.5，他的命中率與距離的平方成反比，且各次射擊都是獨立的，設(shè)這位射手在這次射擊比賽中的得分數(shù)為ξ．
（I）求ξ的分布列；
（II）求ξ的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)在xm處擊中目標的概率為P（x），則依題意有P（x）=，又由題意知：，所以k=5000，則P（x）=，從而在150m處擊中目標的概率為，在200m處擊中目標的概率為．由此能求出ξ的分布列．（II）利用ξ的分布列，能求出Eξ．
解答：解：（I）設(shè)在xm處擊中目標的概率為P（x），
則依題意有P（x）=，
又由題意知：，
所以k=5000，則P（x）=，…（3分）
從而在150m處擊中目標的概率為，…（5分）
在200m處擊中目標的概率為．…（6分）
于是P（ξ=0）==，
P（ξ=1）=，
，
，…（9分）
從而ξ的分布列如下：

ξ		1	2	3
P

…（10分）
（II）Eξ=． …（13分）
點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生的運算能力，考查學(xué)生探究研究問題的能力，解題時要認真審題，理解古典概型的特征：試驗結(jié)果的有限性和每一個試驗結(jié)果出現(xiàn)的等可能性，體現(xiàn)了化歸的重要思想．