Question

14．眾所周知，乒乓球是中國的國球，乒乓球隊(duì)內(nèi)部也有著很嚴(yán)格的競爭機(jī)制，為了參加國際大賽，種子選手甲與三位非種子選手乙、丙、丁分別進(jìn)行一場(chǎng)內(nèi)部對(duì)抗賽，按以往多次比賽的統(tǒng)計(jì)，甲獲勝的概率分別為$\frac{3}{4}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{2}$，且各場(chǎng)比賽互不影響．
（1）若甲至少獲勝兩場(chǎng)的概率大于$\frac{7}{10}$，則甲入選參加國際大賽參賽名單，否則不予入選，問甲是否會(huì)入選最終的大名單？
（2）求甲獲勝場(chǎng)次X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）記M與B₁，B₂，B₃進(jìn)行對(duì)抗賽獲勝的事件分別為A，B，C，M至少獲勝兩場(chǎng)的事件為D，則$P（A）=\frac{3}{4}$，$P（B）=\frac{2}{3}$，$P（C）=\frac{1}{2}$．由于事件A，B，C相互獨(dú)立，可得$P（D）=P（ABC）+P（AB\overline C）+P（A\overline BC）+P（\overline ABC）$，比較即可得出．
（2）M獲勝場(chǎng)數(shù)X的可能取值為0，1，2，3，利用相互獨(dú)立與互斥事件的概率計(jì)算公式即可得出．

解答 解：（1）記M與B₁，B₂，B₃進(jìn)行對(duì)抗賽獲勝的事件分別為A，B，C，M至少獲勝兩場(chǎng)的事件為D，
則$P（A）=\frac{3}{4}$，$P（B）=\frac{2}{3}$，$P（C）=\frac{1}{2}$．
由于事件A，B，C相互獨(dú)立，
∴$P（D）=P（ABC）+P（AB\overline C）+P（A\overline BC）+P（\overline ABC）$=$\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}+\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×（1-\frac{1}{2}）+\frac{3}{4}×（1-\frac{2}{3}）×\frac{1}{2}+（1-\frac{3}{4}）×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{17}{24}$，
由于$\frac{17}{24}＞\frac{7}{10}$，∴M會(huì)入選最終的大名單．
（2）M獲勝場(chǎng)數(shù)X的可能取值為0，1，2，3，
則$P（X=0）=P（\overline A\overline B\overline C）=（1-\frac{3}{4}）×（1-\frac{2}{3}）×（1-\frac{1}{2}）=\frac{1}{24}$，$P（X=1）=P（A\overline B\overline C）+P（\overline A\overline BC）+P（\overline AB\overline C）=\frac{3}{4}×（1-\frac{2}{3}）×（1-\frac{1}{2}）+（1-\frac{3}{4}）×（1-\frac{2}{3}）×\frac{1}{2}+（1-\frac{3}{4}）×\frac{2}{3}×（1-\frac{1}{2}）=\frac{6}{24}$$P（X=2）=P（AB\overline C）+P（A\overline BC）+P（\overline ABC）=\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×（1-\frac{1}{2}）+\frac{3}{4}×（1-\frac{2}{3}）×\frac{1}{2}+（1-\frac{3}{4}）×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{11}{24}$，
$P（X=3）=P（ABC）=\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{6}{24}$．
所以M獲勝場(chǎng)數(shù)X的分布列為：

數(shù)學(xué)期望為$E（X）=0×\frac{1}{24}+1×\frac{6}{24}+2×\frac{11}{24}+3×\frac{6}{24}=\frac{23}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相互獨(dú)立與互斥事件的概率計(jì)算公式、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．