Question

（2013•山東）設(shè)函數(shù)f(x)=

x

e2x

+c(e=2.71828…，c∈R)．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間及最大值；
（2）討論關(guān)于x的方程|lnx|=f（x）根的個數(shù)．

Answer 1

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的運算法則求出f^′（x），分別解出f^′（x）＞0與f^′（x）＜0即可得出單調(diào)區(qū)間及極值與最值；
（2）分類討論：①當(dāng)0＜x≤1時，令u（x）=-lnx-

x

e2x

-c，②當(dāng)x≥1時，令v（x）=lnx-

x

e2x

-c．利用導(dǎo)數(shù)分別求出c的取值范圍，即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵f′(x)=

e2x-x•2e2x

(e2x)2

=

1-2x

e2x

，解f^′（x）＞0，得x＜

1

2

；解f^′（x）＜0，得x＞

1

2

．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞，

1

2

)；單調(diào)遞減區(qū)間為(

1

2

，+∞)．
故f（x）在x=

1

2

取得最大值，且f(x)max=

1

2e

+c．
（2）函數(shù)y=|lnx|，當(dāng)x＞0時的值域為[0，+∞）．如圖所示：
①當(dāng)0＜x≤1時，令u（x）=-lnx-

x

e2x

-c，
c=-lnx-

x

e2x

=g（x），
則g′(x)=-

1

x

-

1-2x

e2x

=-

e2x+x-2x2

xe2x

．
令h（x）=e^2x+x-2x²，則h^′（x）=2e^2x+1-4x＞0，∴h（x）在x∈（0，1]單調(diào)遞增，
∴1=h（0）＜h（x）≤h（1）=e²-1．
∴g^′（x）＜0，∴g（x）在x∈（0，1]單調(diào)遞減．
∴c≥g(1)=-

1

e2

．
②當(dāng)x≥1時，令v（x）=lnx-

x

e2x

-c，得到c=lnx-

x

e2x

=m（x），
則m′(x)=

1

x

-

1-2x

e2x

=

e2x+x(2x-1)

xe2x

＞0，
故m（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，∴c≥m（1）=-

1

e2

．
綜上①②可知：當(dāng)c＜-

1

e2

時，方程|lnx|=f（x）無實數(shù)根；
當(dāng)c=-

1

e2

時，方程|lnx|=f（x）有一個實數(shù)根；
當(dāng)c＞-

1

e2

時，方程|lnx|=f（x）有兩個實數(shù)根．

點評：本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值最值、數(shù)形結(jié)合的思想方法、分類討論的思想方法等基礎(chǔ)知識與基本技能，考查了推理能力和計算能力及其化歸思想方法．