Question

已知函數(shù)f（x）=x²，g（x）=alnx，a∈R．
（1）若?x≥1，f（x）＜g（x），求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）證明：“方程f（x）-g（x）=ax（a＞0）有唯一解”的充要條件是“a=1”．

Answer 1

【答案】分析：（1）記F（x）=f（x）-g（x），求導(dǎo)函數(shù)，分類討論，確定函數(shù)F（x）的最小值，令最小值小于0，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）證明分充分性與必要性進(jìn)行證明，搞清楚條件與結(jié)論．
解答：（1）解：記F（x）=f（x）-g（x），則，x≥1，
當(dāng)a≤0時(shí)，F(xiàn)'（x）＞0恒成立，故F'（x）為[1，+∞）上的單調(diào)增函數(shù)，所以F_min（x）=F（1）=1，（2分）
當(dāng)a＞0時(shí)，由F'（x）=0得（負(fù)值舍去），
若，即0＜a≤2時(shí)，F(xiàn)'（x）≥0恒成立，故F（x）為[1，+∞）上的單調(diào)增函數(shù)，所以F_min（x）=F（1）=1，（4分）
若，即a＞2時(shí)，F(xiàn)'（x）在上恒小于0，在上恒大于0，
所以F（x）在上的單調(diào)遞減，在上的單調(diào)遞增，
故，
綜上所述，（6分）
所以，且a＞2，解得a＞2e．（8分）
（2）證明：1°充分性：當(dāng)a=1時(shí)，方程x²-lnx=x，即x²-lnx-x=0，記G（x）=x²-lnx-x，x＞0
由得x=1（負(fù)值舍去），
所以G（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
故G_min（x）=g（1）=0，即G（x）=x²-lnx-x在（0，+∞）有唯一解x=1，得證．（11分）
2°必要性：因?yàn)榉匠蘹²-alnx=ax（a＞0）有唯一解，記h（x）=x²-alnx-ax，x＞0
由得（負(fù)值已舍），
所以h（x）在（0，x）上單調(diào)遞減，在[x，+∞）上單調(diào)遞增，
故h_min（x）=h（x）=0，且h'（x）=0（13分）
即
②-①×2得2lnx+x-1=0，x＞0，記s（x）=2lnx+x-1，x＞0，
則函數(shù)s（x）為（0，+∞）上的單調(diào)增函數(shù)，且s（1）=0，所以方程2lnx+x-1=0有唯一解x=1，
將x=1代入②式得a=1，即證．
由1°、2°得，“方程f（x）-g（x）=ax（a＞0）有唯一解”的充要條件是“a=1”．（16分）
點(diǎn)評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、分類與討論思想進(jìn)行運(yùn)算求解、推理論證的綜合能力．