Question

設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-a，0），（a，0）．直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且他們的斜率之積為k．則下列說(shuō)法正確的是

（2）（3）

（1）當(dāng)k=

b2

a2

時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是雙曲線．（其中a，b∈R⁺）
（2）當(dāng)k=-

b2

a2

時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是部分橢圓．（其中a，b∈R⁺）
（3）在（1）條件下，點(diǎn)p（x₀，y₀）（x₀＜0）是曲線上的點(diǎn)F₁（-

a2+b2

，0)，F(xiàn)₂（

a2+b2

，0），且|PF₁|=

1

4

|PF₂|，則（1）的軌跡所在的圓錐曲線的離心率取值范圍（1，

5

3

]
（4）在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)F₁（-

a2-b2

，0），F(xiàn)₂（

a2-b2

，0）．滿足

.

MF1

•

.

MF2

=0的點(diǎn)M總在曲線的內(nèi)部，則（2）的軌跡所在的圓錐曲線的離心率的取值范圍是(

2

2

，1)．

Answer 1

分析：設(shè)出動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)，寫(xiě)出直線AM，BM的斜率，由斜率之積等于k求出軌跡方程，若k=

b2

a2

時(shí)，得到M的軌跡是除去兩個(gè)頂點(diǎn)的雙曲線；若k=-

b2

a2

時(shí)，得到M的軌跡是橢圓除去長(zhǎng)軸上兩個(gè)頂點(diǎn)；是雙曲線時(shí)，由題目給出的|PF₁|=

1

4

|PF₂|，集合雙曲線定義求出|PF₁|和|PF₂|的長(zhǎng)度，由兩邊之和大于第三邊列式求離心率范圍；是橢圓時(shí)，根據(jù)與兩焦點(diǎn)連線互相垂直的點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，取橢圓短軸上的一個(gè)端點(diǎn)，由該點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離的平方和大于焦距的平方求得橢圓的離心率小于

2

2

，按以上分析可以判斷出正確命題的個(gè)數(shù)．

解答：解：設(shè)M（x，y），由A，B的坐標(biāo)分別為（-a，0），（a，0），
則kAM=

y

x+a

（x≠-a），kBM=

y

x-a

（x≠a），
由k_AM•k_BM=k，得：

y

x+a

•

y

x-a

=k，即kx²-y²=ka²①．
（1）若k=

b2

a2

（a，b∈R⁺），則方程①化為

x2

a2

-

y2

b2

=1，點(diǎn)M的軌跡是雙曲線除去兩個(gè)頂點(diǎn)，
∴命題（1）不正確；
（2）若k=-

b2

a2

（a，b∈R⁺），則方程①化為

x2

a2

+

y2

b2

=1，點(diǎn)M的軌跡是橢圓除去長(zhǎng)軸上兩個(gè)頂點(diǎn)，
∴命題（2）正確；
（3）在（1）條件下，點(diǎn)p（x₀，y₀）（x₀＜0）是曲線上的點(diǎn)，說(shuō)明點(diǎn)P在雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的左支上，
F₁，F(xiàn)₂是雙曲線的左右焦點(diǎn)，則由|PF₁|=

1

4

|PF₂|及|PF₂|-|PF₁|=2a求得|PF1|=

2

3

a，|PF2|=

8

3

a，
又|PF₁|+|PF₂|=

2

3

a+

8

3

a≥2c，∴

c

a

≤

5

3

，又e＞1，∴（1）的軌跡所在的圓錐曲線的離心率取值范圍（1，

5

3

]．
∴命題（3）正確；
（4）在（2）的條件下，由滿足

.

MF1

•

.

MF2

=0的點(diǎn)M總在曲線的內(nèi)部，說(shuō)明滿足MF₁⊥MF₂的點(diǎn)M在曲線內(nèi)部，若點(diǎn)M在曲線上，則|MF1|2+|MF2|2＞4c2，取M為橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，則|MF₁|=|MF₂|=a，所以2a²＞4c²，
則

c

a

＜

2

2

．∴命題（4）錯(cuò)誤．
所以，正確的命題是②③．
故答案為②③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題的真假判斷及簡(jiǎn)單應(yīng)用，考查了橢圓和雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，涉及求圓錐曲線的離心率范圍問(wèn)題，關(guān)鍵是根據(jù)題目給出的條件得到關(guān)于a和c的不等式，此題是中檔題．