Question

已知函數(shù)

（1）當(dāng)時，求在上的最小值；

（2）若函數(shù)在上為增函數(shù)，求正實數(shù)的取值范圍；

（3）若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)恰有兩個相異的實根，求實數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）0；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）對函數(shù)求導(dǎo)，求出給定區(qū)間上唯一的極小值就是最小值；（2）求導(dǎo)，求出函數(shù)的增區(qū)間即可；（3）將方程的根轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象交點來處理，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想.

試題解析：（1）當(dāng)，，

于是，當(dāng)在上變化時，的變化情況如下表：

		（，1）	1	（1,2）	2
		－	0	＋
		單調(diào)遞減	極小值0	單調(diào)遞增

 

由上表可得，當(dāng)時函數(shù)取得最小值0.

（2），因為為正實數(shù)，由定義域知，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，因為函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，所以.

（3）方程在區(qū)間內(nèi)恰有兩個相異的實根方程在區(qū)間內(nèi)恰有兩個相異的實根方程在區(qū)間內(nèi)恰有兩個相異的實根函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在區(qū)間內(nèi)恰有兩個交點

考察函數(shù)，，在為減函數(shù)，在為增函數(shù)

畫函數(shù)，的草圖，要使函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在區(qū)間內(nèi)恰有兩個交點，則要滿足

所以的取值范圍為

考點：1、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用；2、函數(shù)的極值、單調(diào)區(qū)間；3、方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象問題，數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想.