Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=，F(xiàn)為PC的中點，AF⊥PB．
（1）求PA的長；
（2）求二面角B-AF-D的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）連接BD交AC于點O，等腰三角形BCD中利用“三線合一”證出AC⊥BD，因此分別以O(shè)B、OC分別為x軸、y軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示．結(jié)合題意算出A、B、C、D各點的坐標(biāo)，設(shè)P（0，-3，z），根據(jù)F為PC邊的中點且AF⊥PB，算出z=2，從而得到=（0，0，-2），可得PA的長為2；
（II）由（I）的計算，得=（-，3，0），=（，3，0），=（0，2，）．利用垂直向量數(shù)量積為零的方法建立方程組，解出=（3，，-2）和=（3，-，2）分別為平面FAD、平面FAB的法向量，利用空間向量的夾角公式算出、夾角的余弦，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系即可算出二面角B-AF-D的正弦值．．
解答：解：（I）如圖，連接BD交AC于點O
∵BC=CD，AC平分角BCD，∴AC⊥BD
以O(shè)為坐標(biāo)原點，OB、OC所在直線分別為x軸、y軸，
建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
則OC=CDcos=1，而AC=4，可得AO=AC-OC=3．
又∵OD=CDsin=，
∴可得A（0，-3，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（-，0，0）
由于PA⊥底面ABCD，可設(shè)P（0，-3，z）
∵F為PC邊的中點，∴F（0，-1，），由此可得=（0，2，），
∵=（，3，-z），且AF⊥PB，
∴•=6-=0，解之得z=2（舍負(fù)）
因此，=（0，0，-2），可得PA的長為2；
（II）由（I）知=（-，3，0），=（，3，0），=（0，2，），
設(shè)平面FAD的法向量為=（x₁，y₁，z₁），平面FAB的法向量為=（x₂，y₂，z₂），
∵•=0且•=0，∴，取y₁=得=（3，，-2），
同理，由•=0且•=0，解出=（3，-，2），
∴向量、的夾角余弦值為cos＜，＞===
因此，二面角B-AF-D的正弦值等于=
點評：本題在三棱錐中求線段PA的長度，并求平面與平面所成角的正弦值．著重考查了空間線面垂直的判定與性質(zhì)，考查了利用空間向量研究平面與平面所成角等知識，屬于中檔題．