Question

如圖，已知M是函數y=4-x²（0＜x＜2）圖像C上一點，過M點作曲線C的切線與x軸、y軸分別交于點A、B，O是坐標原點，求△AOB面積的最小值。

Answer 1

解：∵，∴y′=-2x，
設，則過M點曲線C的切線斜率k=-2m，
∴切線方程為，
由x=0，得，
由y=0，得，其中0＜m＜2，
設△AOB的面積為S，則
，0＜m＜2，
∴，
令S′=0，得，解得，
當m∈時，S′＜0，S在區(qū)間上為減函數；
當m∈時，S′＞0，S在區(qū)間上為增函數，
∴當時，S取得最小值，最小值為。