Question

已知函數f（x）=x⁴+ax²+b的圖象在點（1，f（1））處與直線y=-4x+2相切．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調區(qū)間．
（Ⅲ）求函數f（x）在區(qū)間[-m，m]（m＞0）上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）把x=1代入切線方程求出f（1）=-2，然后把（1，-2）代入到f（x）中得到關于a與b的一個關系式；求出f'（x），根據切線方程得到斜率為-4，所以f'（1）=-4，代入導函數即可得到關于a的方程，求出a的值，代入到前面求的關系式中求出b即可；
（Ⅱ）把第一問求得的a與b代入到f（x）中，然后求出f'（x）=0時x的值，利用x的三個值分四個區(qū)間討論導函數的正負即可得到函數的單調區(qū)間；
（Ⅲ）根據第二問函數的增減性分區(qū)間分別求出函數的最大值和最小值即可．
解答：解：（Ⅰ）f（1）=-4×1+2=-2⇒1+a+b-2⇒a+b=-3，
f'（x）=4x³+2ax，f'（1）=-4⇒2a+4=-4
∴a=-4，b=1．
（Ⅱ）f（x）=x⁴-4x²+1⇒f'（x）=4x³-8x=4x（x²-2），f'（x）=0的根為0，±．
在（-∞，-）上，f'（x）＜0，函數f（x）單調遞減；在（-，0）上，f'（x）＞0，函數f（x）單調遞增；
在（0，）上，f'（x）＜0，函數f（x）單調遞減；在（，+∞）上，f'（x）＞0，函數f（x）單調遞增；
故函數f（x）的單調遞增區(qū)間為（-，0）、（+∞）；單調遞減區(qū)間為（-∞，-）、（0，）．
（Ⅲ）f（-）=f（）=-3，f（0）=1，由f（x）=x⁴-4x²+1=1得，x=0，x=±2，
∴當0＜m＜時，f（x）在[-m，m]上的最大值是1，最小值是f（m）=m⁴-4m²+1；
當≤m≤2時，f（x）在[-m，m]上的最大值是1，最小值是f（）=-3．
當m＞2時，f（x）在[-m，m]上的最大值是f（m）=m⁴-4m²+1，最小值是f（）=-3．
點評：考查學生會利用導數研究曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導數研究函數的單調性以及利用函數的增減性求閉區(qū)間上函數的最值．