Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2lnx
（I）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程f（x）=x²-2x+2a的區(qū)間[

1

e

，e]上有兩個(gè)相異實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

分析：（I）由f′（x）=2x-2x，x＞0，知當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞增．由此能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（II）方程x²-2lnx=x²-2x+2a化為x-lnx-a=0，令g（x）=x-lnx-a，由g（x）的單調(diào)性，結(jié)合在[1，e]上單調(diào)遞增f（x）=x²-2x+2a在[

1

e

，e]上有兩個(gè)相異實(shí)根，由此能列出關(guān)于a的不等關(guān)系求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（I）定義域?yàn)?span id="wnzw4p4" class="MathJye">(0，+∞)，f′(x)=2x-

2

x

∴x＞1時(shí)，f'（x）＞0；0＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1）
（Ⅱ）x²-2lnx=x²-2x+2a即：x-lnx-a=0令g（x）=x-lnx-a，
g′(x)=1-

1

x

所以

1

e

≤x＜1，g′(x)＜0，1＜x≤e，g′(x)＞0
∴g（x）在[

1

e

，1]單調(diào)遞減，
在[1，e]上單調(diào)遞增f（x）=x²-2x+2a在[

1

e

，e]上有兩個(gè)相異實(shí)根
?

g( 1 e )≥0 g(1)＜0 g(e)≥0

?

a≤ 1 e +1 a＞1 a≤e-1

?a∈(1，

1

e

+1]

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，具有一定的難度，解題時(shí)要注意挖掘題設(shè)中的隱含條件．