Question

如圖，正方形ABCD所在平面與△ABE所在平面垂直，AB=AE=2，∠EAB=90°，EC中點為F．
（1）求證：BF⊥DE
（2）求直線ED與平面EBC所成角．

Answer 1

分析：（1）分別以AE，AB，AD所在直線為x軸、y軸、z軸建立直角坐標(biāo)系如圖根據(jù)題意得

ED

•

BF

=-2+0+2=0∴BF⊥DE
（2）計算直線ED所在的向量是

ED

=(-2，0，2)，平面EBC的一個法向量為

n

=（1，1，0）然后兩個向量的夾角．

解答：解：（1）證明：分別以AE，AB，AD所在直線為x軸、y軸、z軸建立直角坐標(biāo)系如圖
∵AB=AE=2∴AD=BC=CD=2B（0，2，0），C（0，2，2），D（0，0，2），E（2，0，0），
∴從而得F（1，1，1）

ED

=(-2，0，2) ，

BF

=(1，-1，1)
∵

ED

•

BF

=-2+0+2=0
∴BF⊥DE
（2）解：設(shè)平面EBC的法向量為

n

=(x，y，z)

EB

=(-2，2，0) ，

BC

=(0，0，2)
由

EB • n =0 BC • n =0

得

-2x+2y=0 z=0

，
取x=1
平面EBC的一個法向量為

n

=（1，1，0）
設(shè)直線ED與平面EBC所成角為α
∴sinα=|cos＜

n

，

ED

＞|=|

-2

8 • 2

|=

1

2

∴α=30°

點評：建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，正確寫出空間向量的坐標(biāo)，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題．