Question

已知f（x）=kxlnx，g（x）=-x²+ax-（k+1）（k＞0）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（Ⅱ）對一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）證明：對一切x∈（0，+∞），都有成立．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用導數(shù)求單調(diào)性，比較給的區(qū)間與單調(diào)區(qū)間的關系求出最值，
（Ⅱ）分離參數(shù)，不等式恒成立轉化成函數(shù)最值，
（Ⅲ）通過構造函數(shù)，利用第一問的結論求出最值證出不等式
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=k（lnx+1），
當，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
當，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
①，t無解；
②，即時，；
③，即時，f（x）在[t，t+2]上單調(diào)遞增，f（x）_min=f（t）=ktlnt；
所以．
（Ⅱ）kxlnx≥-x²+ax-（k+1），則，
設，則，x∈（0，1），h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，x∈（1，+∞），h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，
所以h（x）_min=h（1）=k+2，因為對一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，所以a≤h（x）_min=k+2；
（Ⅲ）問題等價于證明，由（1）可知，f（x）=kxlnx（x∈（0，+∞））（k＞0）的最小值是，當且僅當時取到，故．
設，則，易得，
當且僅當x=1時取到，從而對一切x∈（0，+∞），都有成立．①
點評：導數(shù)在函數(shù)中的應用：求最值，極值，參數(shù)范圍，證明不等式．