Question

如圖所示，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，SA⊥平面ABCD，且AD∥BC，AB⊥AD，BC=2AD=2，AB=AS=

2

．
（Ⅰ）求證：SB⊥BC；
（Ⅱ）求點A到平面SBC的距離；
（Ⅲ）求面SAB與面SCD所成二面角的大小．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,直線與平面所成的角

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由線面垂直得SA⊥BC，從而得到BC⊥平面SAB，由此能證明SB⊥BC．
（2）以A為原點，以AD為x軸，AB為y軸，AS為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出點A到平面SBC的距離．
（Ⅲ）求出平面SAD的法向量和平面SAB的法向量利用向量法能求出面SAB與面SCD所成二面角的大小．

解答： （Ⅰ）證明：∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥BC，
又∵BC⊥AB，∴BC⊥平面SAB，
又SB?平面SAB，∴SB⊥BC．
（2）解：以A為原點，以AD為x軸，AB為y軸，AS為z軸，
建立空間直角坐標系，
由已知得S（0，0，

2

），A（0，0，0），
B（0，

2

，0），C（2，

2

，0），D（0，0，1），

SB

=(0，

2

，-

2

)，

BC

=(2，0，0)，
設平面SBC的法向量

m

=(x，y，z)，
則

m • SB = 2 y- 2 z=0 m • BC =2x=0

，取y=1，得

m

=(0，1，1)，

AB

=(0，

2

，0)，
∴點A到平面SBC的距離d=

| m • AB |

| m |

=

| 2 |

2

=1．
（Ⅲ）解：

SD

=（1，0，

2

），

SC

=(2，

2

，-

2

)，
設平面SAD的法向量

n

=(a，b，c)，
則

n • SD =a+ 2 c=0 n • SC =2a+ 2 b- 2 c=0

，令c=1，得

n

=(

2

，-1，1)，
又平面SAB的法向量

p

=(1，0，0)，
∴cos＜

n

，

p

＞=

2

2

，
∴面SAB與面SCD所成二面角的大小為45°．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查點到平面的距離的求法，考查二面角的大小的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．