Question

已知函數(shù)f（x）=（x²-3x+3）e^x的定義域?yàn)椋?2，t）（t＞-2）
（1）試確定t的取值范圍，使得函數(shù)f（x）在（-2，t）上為單調(diào)函數(shù)．
（2）求證：對(duì)于任意t＞-2，總存在x₀滿足

f′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1)2并確定這樣的x₀個(gè)數(shù)．

Answer 1

（1）f′（x）=（2x-3）e^x+（x²-3x+3）e^x=（x²-x）e^x=x（x-1）e^x=0，得x=0或x=1
由f′（x）＞0?x＜0，或x＞1；f′（x）＜0?0＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴要使f（x）在（-2，t）上為單調(diào)函數(shù)，則-2＜t≤0．（6分）
（2）∵

f′(x0)

ex0

=x

20

-x0，
∴

f′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1)2，
即為x₀²-x₀=

2

3

(t-1)2，
令g（x）=x²-x-

2

3

(t-1)2，從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明方程g（x）=x2-x-

2

3

(t-1)2=0在（-2，t）上有解并討論解的個(gè)數(shù)，
因?yàn)間（-2）=6-

2

3

（t-1）²=-

2

3

(t-4)(t+2)，g（t）=t（t-1）-

2

3

(t-1)2=

1

3

(t+2)(t-1)，
所以當(dāng)t＞4或-2＜t＜1時(shí)，g（-2）•g（t）＜0，
所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且只有一解，
當(dāng)1＜t＜4時(shí)，g（-2）＞0且g（t）＞0，
但由于g（0）=-

4

3

(t-1)2＜0，所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且有兩解，
當(dāng)t=1時(shí)，g（x）=x²-x=0，解得x=0或1，
所以g（x）=0在（-2，t）上有且只有一解，
當(dāng)t=4時(shí)，g（x）=x²-x-6=0，
所以g（x）=0在（-2，t）上也有且只有一解，
綜上所述，對(duì)于任意的t＞-2，總存在x₀∈（-2，t），滿足

f′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1)2，
且當(dāng)t≥4或-2＜t≤1時(shí)，有唯一的x₀適合題意，
當(dāng)1＜t＜4時(shí)，有兩個(gè)x₀適合題意．