Question

已知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a₁=

1

4

，公比q=

1

4

的等比數(shù)列，設(shè)b_n+2=3log

1

4

a_n（n∈N^*），數(shù)列{c_n}滿足c_n=a_n•b_n．
（1）求證：{b_n}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（3）若c_n≤

1

4

m²+m-1對(duì)一切正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列的函數(shù)特性

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)題意和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出a_n，再由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求出b_n，根據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行證明；
（2）由（1）和題意求出數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和；
（3）先化簡(jiǎn)c_n+1-c_n，再根據(jù)結(jié)果的符號(hào)與n的關(guān)系，判斷出數(shù)列{c_n}的最大項(xiàng)，將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體的不等式，再求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 證明：（1）由題意得，a_n=

1

4

•(

1

4

)n-1=(

1

4

)n，
又b_n+2=3log

1

4

a_n（n∈N^*），則b_n+2=3log

1

4

(

1

4

)n=3n，
所以b_n=3n-2，即b_n+1-b_n=3，且b₁=1，
所以{b_n}是為1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列；
解：（2）由（1）得，a_n=(

1

4

)n，b_n=3n-2
所以c_n=a_n•b_n=(3n-2)(

1

4

)n，
則S_n=1×

1

4

+4×(

1

4

)2+7×(

1

4

)3+…+(3n-2)(

1

4

)n  ①，

1

4

S_n=1×(

1

4

)2+4×(

1

4

)3+7×(

1

4

)4+…+(3n-2)(

1

4

)n+1 ②，
①-②得，

3

4

S_n=

1

4

+3×[(

1

4

)2+7×(

1

4

)3+…+(

1

4

)n]-(3n-2)(

1

4

)n+1
=

1

4

+3×

1 42 [1-( 1 4 )n-′1]

1- 1 4

-(3n-2)(

1

4

)n+1
=

1

2

-(

1

4

)n-(3n-2)(

1

4

)n+1，
所以S_n=

2

3

-

3n+2

3

•(

1

4

)n，
（3）由（2）得，c_n=(3n-2)(

1

4

)n，
c_n+1-c_n=(3n+1)(

1

4

)n+1-(3n-2)(

1

4

)n=9(1-n)×(

1

4

)n+1，
所以當(dāng)n=1時(shí)，c₂=c₁=

1

4

，
當(dāng)n≥2時(shí)，c₂=c₁＞c₃＞c₄＞c₅＞…＞c_n，
則當(dāng)n=1或2時(shí)，c_n的最大值是

1

4

，
因?yàn)閏_n≤

1

4

m²+m-1對(duì)一切正整數(shù)n恒成立，
所以

1

4

≤

1

4

m²+m-1，即m²+4m-5≥0，解得m≥1或m≤-5，
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≥1或m≤-5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法：錯(cuò)位相減法，以及數(shù)列的函數(shù)特性，利用作差法判斷出數(shù)列的單調(diào)性也是常用的方法．