Question

已知數列{a_n}是首項為a₁=

1

4

，公比q=

1

4

的等比數列，設b_n+2=3log

1

4

a_n（n∈N^*），數列{c_n}滿足c_n=a_n•b_n．
（1）求證：{b_n}是等差數列；
（2）求數列{c_n}的前n項和S_n；
（3）若c_n≤

1

4

m²+m-1對一切正整數n恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：數列的求和,數列的函數特性

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）根據題意和等比數列的通項公式求出a_n，再由對數的運算性質求出b_n，根據等差數列的定義進行證明；
（2）由（1）和題意求出數列{c_n}的通項公式，利用錯位相減法能求出數列{c_n}的前n項和；
（3）先化簡c_n+1-c_n，再根據結果的符號與n的關系，判斷出數列{c_n}的最大項，將恒成立問題轉化為具體的不等式，再求出實數m的取值范圍．

解答： 證明：（1）由題意得，a_n=

1

4

•(

1

4

)n-1=(

1

4

)n，
又b_n+2=3log

1

4

a_n（n∈N^*），則b_n+2=3log

1

4

(

1

4

)n=3n，
所以b_n=3n-2，即b_n+1-b_n=3，且b₁=1，
所以{b_n}是為1為首項，3為公差的等差數列；
解：（2）由（1）得，a_n=(

1

4

)n，b_n=3n-2
所以c_n=a_n•b_n=(3n-2)(

1

4

)n，
則S_n=1×

1

4

+4×(

1

4

)2+7×(

1

4

)3+…+(3n-2)(

1

4

)n  ①，

1

4

S_n=1×(

1

4

)2+4×(

1

4

)3+7×(

1

4

)4+…+(3n-2)(

1

4

)n+1 ②，
①-②得，

3

4

S_n=

1

4

+3×[(

1

4

)2+7×(

1

4

)3+…+(

1

4

)n]-(3n-2)(

1

4

)n+1
=

1

4

+3×

1 42 [1-( 1 4 )n-′1]

1- 1 4

-(3n-2)(

1

4

)n+1
=

1

2

-(

1

4

)n-(3n-2)(

1

4

)n+1，
所以S_n=

2

3

-

3n+2

3

•(

1

4

)n，
（3）由（2）得，c_n=(3n-2)(

1

4

)n，
c_n+1-c_n=(3n+1)(

1

4

)n+1-(3n-2)(

1

4

)n=9(1-n)×(

1

4

)n+1，
所以當n=1時，c₂=c₁=

1

4

，
當n≥2時，c₂=c₁＞c₃＞c₄＞c₅＞…＞c_n，
則當n=1或2時，c_n的最大值是

1

4

，
因為c_n≤

1

4

m²+m-1對一切正整數n恒成立，
所以

1

4

≤

1

4

m²+m-1，即m²+4m-5≥0，解得m≥1或m≤-5，
故實數m的取值范圍是m≥1或m≤-5．

點評：本題考查等比數列的通項公式、前n項和公式，數列的前n項和的求法：錯位相減法，以及數列的函數特性，利用作差法判斷出數列的單調性也是常用的方法．